ข้อสอบประกายกุหลาบครั้งที่ 9 ม.ต้น
 

ยากดีครับ...

ข้อสอบชุดนี้ผิดเยอะเป็นประวัติการณ์ครับ

คะแนนก็คงจะสูงครับ ไม่ต้้องกังวล

พี่มีเฉลยไหมครับ:confused:

ผมก็ว่างั้นครับ ครั้งก่อน ๆ ยากกว่ามาก :great:

เฉลยจะขายในการสอบครั้งต่อไปครับ

ขอ hint ข้อ 9 ตอน 3 หน่อยครับ :please: (ผมเดาว่า 3)

ทำแบบนี้น่าจะได้นะครับ(มั้ง)

$n! + 10 = k^2$

$10 = k^2 - (\sqrt{n!})^2$

$10 = (k+\sqrt{n!})(k-\sqrt{n!}) $

แล้วแยกกรณีครับ รู้สึกว่าจะไม่ได้ n เป็นจำนวนเต็มบวกเลยนะครับ... :sweat: (ตอบ 0)

ปล.ตอนสอบทำไม่ได้:cry:

มันมี $n=3$ ค่านึงนี่ครับ

โทษทีครับ :cry: คิดไม่ออก

hint mod 4

เอามาใช้ยังไงครับ ? มองไม่ออก

$n! + 10 = k^2$
แทน $n=1,2,3$ พบว่า $n = 3 $ ทำให้ $k = 4$
$n > 3$ $\Leftrightarrow$ $n!+10 \equiv 2 \pmod{4}$
แต่ $k^2 \equiv 0,1 \pmod{4}$ เท่านั้น จะได้ว่า $n>3$ ไม่มีผลเฉลย

ตอนที่ 2 ข้อ 1 คิดแบบนี้หรือเปล่าครับ
หลักพัน ไม่รวม 0 ได้ = 7 ตัว
หลักร้อย รวม 0 แต่ห้ามซ้ำเหลือ =7 ตัว
หลักสิบ = 6 ตัว
หลักหน่วย = 5 ตัว
จำนวนที่มี 4 หลัก = 7*7*6*5 = 1470

ตอนที่1 ข้อ1....จะทำแบบแก้สมการง่ายๆก็ได้คือ
$x^4-4x^2+3=0$
$(x^2-3)(x^2-1)=0$
$(x-\sqrt{3} )(x+\sqrt{3} )(x-1)(x+1)=0$
$x=\pm1, \pm \sqrt{3} $
ผลบวกของกำลังสองของรากสมการเท่ากับ $8$

อีกวิธีหนึ่งที่ไม่ต้องแก้สมการคือ เรารู้ว่า
$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0$ เรากระจายแล้วจะได้ว่า
$x^4-(a+b+c+d)x^3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x^2-(abc+acd+bcd+abd)x+abcd=0$
เมื่อเทียบสัมประสิทธิ์จะได้ว่า$a+b+c+d=0$ และ $ab+ac+ad+bc+bd+cd=-4$
จาก$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$
แทนค่าที่ได้ลงไปจะได้ $a^2+b^2+c^2+d^2 \quad = \quad -2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$
ผลบวกของกำลังสองของรากสมการเท่ากับ $8$

ขอบคุณครับ