ข้อสอบโอลิมปิก2539ที่คล้ายกับโควต้า มอ.2554
1 ไฟล์และเอกสาร
วงกลม A มีพื้นที่มากกว่าวงกลม B วงกลมทั้งสองนี้มีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน Y แต่เหนือแกน X และสัมผัสกับพาราโบลา $x^2 = 4cy \ (c>0)$ และผ่านจุดโฟกัสของพาราโบลานี้ด้วย
อัตราส่วนระหว่างพื้นที่วงกลม A กับพื้นที่วงกลม B เป็นเท่าใด $(1)\ 32\quad(2)\ 32\quad(3)\ 48\quad(4)\ 64$ ที่ผมจะทำต่อไปนี้ไม่เกียวกับข้อนี้นะครับ ถ้าผมให้ $c = 1$ จะได้สมการพาราโบลาคือ $x^2 = 4y$ มีจุดโฟกัสที่ (0,1) และสมมติว่าวงกลมมีจุดศูนย์กลางที่ $(0,k)$ ผ่านจุด (0,1) สัมผัสพาราโบลา (โจทย์จะคล้ายข้อสอบโควต้า มอ. ปี2554นี้เลยครับ) ดังนั้นรัศมีวงกลม = $\left|k-1\right|$ จะได้สมการวงกลมคือ $x^2+(y-k)^2 = \left|k-1\right|^2$ Attachment 5093 วงกลมสัมผัสพาราโบลา ดังนั้นเราสามารถแก้สมการหาจุดสัมผัสได้ $x^2 = 4y \quad.....(1)$ $x^2+(y-k)^2 = \left|k-1\right|^2 \quad.....(2)$ $4y + (y-k)^2 = (k-1)^2$ $y^2 + (4-2k)y + (2k-1) = 0$ ที่จุดสัมผัส ค่า y มีค่าเดียว ดังนั้น discriminant = 0 $(4-2k)^2 - 4(2k-1) = 0 \rightarrow k = 1 , 5$ แต่ $k\not= 1 $ เพราะรัศมีต้องไม่เท่ากับ 0 $ \therefore k = 5$ ที่ผมสงสัยก็คือ จากโปรแกรม sketchpad ผมสามารถวาดวงกลมได้ 2 วง ที่ $k = \dfrac{1}{2} $กับ $k = 5$ เป็นไปตามที่ข้อสอบโอลิมปิคกำหนดให้ แต่ทำไมเวลาคำนวณจึงได้ $k = 5$ ค่าเดียว ผมพลาดตรงไหนครับ:confused::confused::confused: |
พลาดตรงที่เข้าใจผิดว่า
ถ้า y มีค่าเดียว แล้ว Discriminant ต้องเป็นศูนย์ |
แล้วจะหา k ยังไงดีครับ
|
ต้องเข้าใจก่อนว่า ทำไม Discriminant ไม่จำเป็นต้องเท่ากับศูนย์
|
ยังนึกไม่ออกอยู่ดีครับ เพราะในตอนแรกที่เรายังไม่รู้ว่ามีวงกลมสัมผัสได้ 2 วง เราก็สมมุติสมการวงกลมในรูปทั่วไปแล้วว่า จุดศูนย์กลาง $(0,k)$ จะเป็นจุดใดก็ได้ แล้วที่จุดสัมผัสมี 2 จุด ค่า $y$ เท่ากัน แสดงว่าค่า $y$ มีค่าเดียว
ดังนั้น discriminant ต้องเท่ากับ 0 คำตอบมันก็ควรจะฟ้องออกมาเองว่าได้ค่า $k$ 2 ค่า ผมเข้าใจตรงไหนผิดไม่รู้ครับ:confused::please: |
มันมีเงื่อนไขมากกว่านั้นครับ คือ $y\geq0$
แม้เราจะทราบว่ามีค่า $y$ ค่าเดียว แต่ก็ยังสรุปไม่ได้ว่าสัมผัสกันจริงๆหรือไม่ เช่นวงกลม $x^2+y^2=1$ ก็แก้สมการได้ค่า $y$ ค่าเดียวเช่นกัน แต่ไม่ได้สัมผัสพาราโบลานี้ |
ยังหาไปไม่เจอเลยครับ:confused:
|
เวลาแก้สมการกำลังสองแล้วจะใช้สมบัติของ discriminant ตัวแปรต้องไม่มีเงื่อนไขครับถึงจะใช้ได้
อย่างกรณีนี้เรามีเงื่อนไข $y\geq 0$ แปะมาด้วย จึงใช้การวิเคราะห์ discriminant อย่างเดียวไม่ได้ ถ้าหากแก้สมการตรงๆจะได้ $y=k-2\pm\sqrt{(k-1)(k-5)}$ ถามว่าสองคำตอบที่ได้มีโอกาสที่จะได้ค่า $y\geq 0$ หรือเปล่า มันก็ขึ้นอยู่กับค่า $k$ แล้วล่ะ ลองวิเคราะห์ต่อดูครับ |
$\quad\quad$ผมกำลังคิดว่า ถ้าเราไปเจอสมการอื่นๆ ที่เราไม่รู้ลักษณะกราฟของมัน และเราก็ไม่รู้ด้วยว่า ตัวแปร $x, y$ มีเงื่อนไข (ทั้ง ๆ ที่มันมีเงื่อนไขในตัวสมการของมันเองซึ่งเราไม่รู้) เราจะใช้การแก้สมการหาจุดสัมผัสได้หรือไม่ เพราะโจทย์ลักษณะนี้ พบเห็นมากมาย ทั้ง ม.ต้น และ ม.ปลาย และโดยทั่วไปก็ใช้การอ้างเหตุผลว่า ที่จุดสัมผัส discriminant = 0 (แบบเรีบน สสวท ก็อ้างแบบนี้) หรือว่าทำกันผิด ๆ มาตลอด ตัวอย่างเช้นโจทย์ข้อนี้
$\quad\quad$ซึ่งที่ถูกแล้วควรใช้ calculus มาแก้ปัญหา โดยอ้างว่า ที่จุดสัมผัส ความชันเส้นสัมผัสของทั้ง 2 สมการ ต้องเท่ากัน $x^2 = 4y\quad.....(1)$ $y' = \dfrac{x}{2} $ $x^2 + (y-k)^2 = (k-1)^2\quad.....(2)$ $2x + 2(y-k)y' = 0\rightarrow x+(y-k)y' = 0$ $x + (y-k)\dfrac{x}{2} = 0$ $x\left(1+\dfrac{y-k}{2}\right) = 0$ $x = 0$ หรือ $y = k-2$ กรณีที่ 1 ถ้า $x = 0$ จะได้ $y = 0$ ดังนั้นจุดสัมผัสคือ $(0,0)$ แทนใน $(2)$ จะได้ $k = \dfrac{1}{2}$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงที่หนึ่ง กรณีที่ 2 ถ้า $y=k-2$ แทนใน $(1)$ จะได้ $x=\pm 2\sqrt{k-2} $ ดังนั้นจุดสัมผัสคือ $(-2\sqrt{k-2},k-2) , (2\sqrt{k-2},k-2)$ แทนใน $(2)$ จะได้ $k=1,5$ แต่ $k\not= 1$ ดังนั้น $k=5$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมวงที่สอง หมายเหตุ ช่วยวิจารณ์ความคิดผมที่พูดไว้ตอนแรก ๆ หน่อยครับว่า ถูก หรือผิด หรือทำได้ ทำไม่ได้ อย่างไร |
พูดตรงๆเลยครับ ไม่มีทางทราบได้แน่นอนว่า
จุดสัมผัสที่หาจาก Discriminant นั้นเป็นจุดสัมผัสจริงๆหรือไม่ แต่ผมมองว่ามันจะเป็นโจทย์สำหรับนักศึกษามากกว่านักเรียนน่ะครับ ในระดับม.ปลายก็ไม่ได้เน้นตรงนี้กัน |
อยากได้คำอธิบายเพิ่มของข้อนี้ค่ะ เพราะอ่านจากข้างบนแล้วรู้สึกว่ายังไม่เข้าใจสุดๆเลย
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 04:40 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha