โจทย์จำนวนเชิงซ้อน
 

สวัสดีเจ้าค่ะ... หายหน้าไปนาน วันนี้มีโจทย์จะมาถามหน่อยน่ะเจ้าค่ะ

ให้ $a = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i$, $b = \frac{8}{17} + \frac{15}{17}i$, และ $z \in \mathbb{C} - {0}$ ที่ $|z+a|=|z+b|=1$ แล้ว จงหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ
$$Re\left(\,\frac{z}{a+b}\right) $$

ผมได้ $z=-\dfrac{91}{85}-\dfrac{143}{85}i$ เพียงตัวเดียวครับ

วิธีคิดก็แทน $z=x+iy$ แล้วทำตามเงื่อนไขโจทย์ แก้ระบบสมการสองตัวแปรธรรมดาครับ

ขอเสนอวิธีการหา $z$ อีกวิธีครับ

จาก $|z+a|=|z+b|=1$ จะได้ว่า $|z+a|^2=|z+b|^2=1$ นั่นคือ $(z+a)^2=(z+b)^2=1$
ให้ $z=x+iy$ ได้ว่า
$(x+\frac{3}{5})^2+(y+\frac{4}{5})^2=1$
$(x+\frac{8}{17})^2+(y+\frac{15}{17})^2=1$

สังเกตว่าเป็นสมการวงกลมทั้งสองวงที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ทั้งคู่ และระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางของทั้งสองวงเท่ากับ $\sqrt{(\frac{8}{17}-\frac{3}{5})^2+(\frac{15}{17}-\frac{4}{5})^2}<2$
ดังนั้นวงกลมทั้งสองตัดกัน 2 จุด และสังเกตว่าจุดที่เป็นคำตอบก็คือ $(x,y)$

สามารถแสดงได้ว่าเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสอง จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากคอร์ดร่วมของวงกลมสองวงนี้ และในทางกลับกัน คอร์ดร่วมจะแบ่งครึ่งตั้งฉากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลม

ดังนั้นจุดตัดของเส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสอง กับคอร์ดร่วม คือ $\displaystyle\left(\frac{-\frac{3}{5}-\frac{8}{17}}{2},\frac{-\frac{4}{5}-\frac{15}{17}}{2}\right)=\left(-\frac{91}{170},-\frac{143}{170}\right)$

สังเกตว่าวงกลมทั้งสองตัดกันที่จุด $\left(0,0\right)$
จากที่เส้นที่เชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลมทั้งสอง จะแบ่งครึ่งและตั้งฉากคอร์ดร่วมของวงกลมสองวง และคอร์ดร่วมจะแบ่งครึ่งตั้งฉากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางวงกลม
$\displaystyle\left(\frac{0+x}{2},\frac{0+y}{2}\right)=\left(-\frac{91}{170},-\frac{143}{170}\right)$
ได้ $x=-\frac{91}{85},y=-\frac{143}{85}$

และจาก $a+b=\frac{91}{85}+\frac{143}{85}i$
$\displaystyle\therefore Re\left(\frac{z}{a+b}\right)=Re\left(\frac{-\frac{91}{85}-\frac{143}{85}i}{\frac{91}{85}+\frac{143}{85}i}\right)=Re\left(-1\right)=-1$

จะเห็นว่า $|a|=|b|=1$ ดังนั้นสมการ $|z+a|=|z+b|=1$ ซึ่งคือวงกลม 2 วงตัดกัน จึงมีรากที่ $z\ne0$ อีกเพียงรากเดียวคือ $z=-a-b$ และนั่นทำให้ $\Re \left( \dfrac{z}{a+b} \right) =-1$ ครับ