Matrix problem !
 

Let $A$ be an $n \times n$ matrix. Show that $A^2 = BA$ for some invertible matrix $B$ $\Leftrightarrow$ $rank(A^2) = rank(A)$

รบกวนพี่ๆแนะนำหน่อยครับ :please:

ขาไป $\Rightarrow$ ใช้ fact ว่า คูณด้วย invertible matrix ไม่เปลี่ยน rank เลยได้ rank(BA)=rank(A)
ดู fact นี้ง่ายๆได้จาก elimination เพราะ elimination ก็คือการคูณด้วย elementary matrix
ซึ่งก็ invertible, มองต่อไปอึกจะสังเกตว่า ทุก invertible matrix เขียนอยู่ในรูปผลคูณของ
elementary matrix ได้ ดังนั้น BA ก็เหมือนทำ row operation กับ A. ไม่ได้เปลี่ยน rank
ขากลับ $\Leftarrow$ rank เท่ากัน แปลว่าจำนวน nonzero pivots ตอนท้ายของ elimination เท่ากัน
ดังนั้น มี elementary matrix E1, E2 ที่ทำให้ $E_1A^2 = E_2A=I_r$ (มี 1 อยู่ r ตัวที่ diagonal ไล่จากซ้ายบน)
และ elementary matrix มัน invertible; $A^2=(E_1)^{-1}E_2A=BA$

ในกรณีนี้เหมือนกับว่าให้ ${(E_1)^{-1}}E_2 = B$ แล้วมันแปลว่า matrix $B$ ต้อง invertible ด้วยเหรอครับ :please:

ผลคูณ invertible ได้ invertible ครับ (check!)

โอวววว ขอบคุณที่ชี้แนะครับ :great:

ผมแถมโจทย์ให้ไปคิดเล่นๆอีกข้อ (เห็นว่าเป็น general fact ที่มีประโยชน์)
Fact: matrices คูณกัน rank มีแต่จะลดลงหรือเท่าเดิม(เท่ากับ rank ต่ำสุดของตัวที่คูณเสมอ) ไม่มีเพิ่มขึ้น! (check!)
นั่นแปลว่าข้อบน ถ้า $A^2 $ไม่ใช่ BA โดย B invetible แล้ว$ rank(A^2)\leqslant rank(A)$