my math problem collection
 

ผมได้เก็บรวมรวมโจทย์เลขจากที่ต่างๆ ที่ผมเห็นตั้งแต่ตอนผม ม.ปลาย จนถึงปี 2 เกือบประมาณ 1300 ข้อแล้วครับตอนนี้ (ตอนนี้ผมเรียนปี 4) ก็เลยกะว่า จะมาปล่อยในนี้ครับ โจทย์ที่เห็นอาจจะคุ้นหน้าคุ้นตา user ท่านอื่นๆ เพราะว่าผมเองก็ไม่ใช่คนแต่งโจทย์ เป็นเพียงคนเก็บสะสมมานาน เฉยๆ ถ้าข้อไหนเคยเฉลยแล้ว ก็อย่าว่ากันนะครับ :wacko: ผมจะค่อยๆปล่อยละกัน :) ความยากของโจทย์ก็มีคละๆกันไป

1. จงหาค่่าของ $\displaystyle{\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{2207-...}}}}$ ในรูป $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ เมื่อ $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$

2. กำหนดให้ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ เป็นคำตอบ 4 คำตอบในสมการ $\left| x^2-3x+2\right| =mx$
2.1) จงหาช่วงของค่า $m$ ที่ทำให้ $\alpha\neq\beta\neq\gamma\neq\delta$

2.2) จงแสดง $S = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}$ ในรูปของ $m$

2.3) จงหาช่วงของค่า $S$

3. Simplify $\sqrt[2003]{2\sqrt{11}-3\sqrt{5}}\sqrt[4006]{89+12\sqrt{55}}$


4. กำหนดให้ $x,y > 0$ ที่ทำให้
$$3 = k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$
จงหาค่าที่เป็นไปได้มากสุดของค่า $k$


5. กำหนดให้ $m \otimes n = \frac{m+n}{mn+4}$ จงหาค่าของ $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$

ขอบคุณสำหรับน้ำใจ ครับ พี่ Innoxent

มีแต่โจทย์โหด ๆ ขอผมนั่งดูอย่างเดียวละกัน 555555555555. :haha::haha:

ความจริง พี่ก็ทำได้ไม่หมดหรอกครับ ที่ทำมา ก็มั่วๆไป ฮ่าๆๆ :( ช่วยเฉลยหน่อยก็ดีนะ

5. $m \otimes n = \dfrac{m+n}{mn+4}$
ได้ ว่า $k \otimes 2 = \dfrac{k+2}{2k+4}$ = $\dfrac{1}{2}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
ดังนั้น $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$
= $(\dfrac{1}{2}\otimes 1)\otimes 0 = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{1}{3} \otimes 0 = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{4} = \dfrac{1}{12}$

4.$3=k^2\Big(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\Big)+k\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)=k^2\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)^ 2+k\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)-2k^2\ge 2k^2+2k$
ดังนั้น $max(k)=\dfrac{-1+\sqrt 7}{2}$

6. จงหาค่าต่ำสุดของ $\left| \sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x}\right| $


7. ถ้า $\displaystyle{\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{2004}{2005}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}$


8. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{2}{1^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{2^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{3^2})}+... < \pi}$


9. จงแก้อสมการ $\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} \geq 3$


10. กำหนดให้ $\displaystyle{S = \cos{(\frac{\pi}{2549})}+\cos{(\frac{3\pi}{2549})}+\cos{(\frac{5\pi}{2549})}+...+\cos{(\frac{2547\pi}{2549})}}$ จงหาค่าของ $\log_{\frac{1}{S}}{1024S}$

9. จงแก้อสมการ $\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} \geq 3$

$\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} = S $

$\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{13}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{17}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{21}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}} \geq 3$


พิจารณา $\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}} \geq 0 $

$(x-\frac{3}{2})^2 \geqslant \frac{25}{4}$

แทนในรากทุกตัว

$S \geqslant \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{13}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{17}{4}}+ \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{21}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{25}{4}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{1} + 0 \geq 3 $ :great:

edit : เผื่อใครงง สรุปช่วง ตอบ $(-\infty,-1] \cup [4,\infty)$ มาจาก $x^2-3x-4 \geq 0 $

ให้ $x=\dfrac{a-b}{a+b},y=\dfrac{b-c}{b+c},z=\dfrac{c-a}{c+a}$
จะได้ $xyz=\dfrac{2004}{2005}$

จาก $(x+1)(y+1)(z+1)=\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
และ $(x-1)(y-1)(z-1)=\dfrac{-8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)=0$
$xyz+x+y+z=0$
$\therefore x+y+z=-\dfrac{2004}{2005}$

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} = \dfrac{x+1}{2}+\dfrac{y+1}{2}+\dfrac{z+1}{2}=\dfrac{4011}{4010}$

ข้อ 10 Hint : คูณ 2sin pi/2549 เข้าไป

ผมมาแถมให้ครับ :)
ข้อ 7 สังเกตว่า
$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
ก็จะได้ว่า
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{1}{2}(3-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)})$

ข้อ 8. นี่ทำยังไงเหรอครับ :wacko:

11. กำหนดให้ $\displaystyle{\delta = x^{x^{x^{x^{...}}}}}$ เมื่อ $\delta\in\mathbb{R}$ จงหาค่าสูงสุดของ $\delta$


12. กำหนดให้ $A = \bmatrix{1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2}$
$B = A^{15}+A^{14}+...+I$
$C = A^{15}-A^{14}+A^{13}-...+A-I$
จงหา $\displaystyle{\frac{\det{(AB)}}{\det{C}}}$


13. จงแก้ระบบสมการ
$x + y + z = 0$
$x^3+y^3+z^3 = 12$
$x^6+y^6+z^6 = 264$


14. จงแก้สมการ $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{1}{x})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+3})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+6})} = \frac{\pi}{4}}$


15. กำหนดให้ $a+b+c = 1$ และ $a^2+b^2+c^2 = 2$ จงหาค่าสูงสุดของ
$\displaystyle{(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}$

15. $\displaystyle{(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}= (ab+bc+ca+1)(a+b+c+1)= 2(1-\dfrac{1}{2})=1$

มันเท่ากับเลยอ่ะครับ ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ

13. $x+y+z= 0 , x^3+y^3+z^3= 3xyz$ จะได้ $xyz=4$

$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3 = -60$

$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2= (xy+yz+zx)(xy+yz+zx)^2$

$xy+yz+zx = -3\sqrt[3]{4}$

เพราะฉะนั้น x,y,z เป็นราของสมการ

$A^3-3\sqrt[3]{4}A-4=$

$A= \sqrt[3]{16}, -\sqrt[3]{2},-\sqrt[3]{2}$

12 Hint: AB = ? , AC = ?