|
AMO 2015
|
19. How many 4-digit numbers bigger than 2015 satisfies the following condition:
The number is even , All the digits in the number are different. เพราะว่า จำนวนที่ต้องการคือจำนวนคู่ ดังนั้น หลักหน่วยจะต้องเป็น 0,2,4,6,8 กรณี 1 หลักพันคือ 3,5,7,9 (4 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ 0,2,4,6,8 (5 วิธี) ดังนั้นจะเหลือ ตัวเลขให้ใส่หลักร้อยและหลักสิบ 10-2=8 จำนวน นั่นคือเลือกหลักร้อยได้ (8 วิธี) หลักสิบได้ (7 วิธี) ดังนั้น กรณีนี้มี 4x5x8x7= 1120 จำนวน กรณี 2 หลักพันคือ 4,6,8 (3 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ (4 วิธี) เพราะหลักพันเลือกเลขคู่ไปแล้ว 1 ดังนั้นจะเหลือ ตัวเลขให้ใส่หลักร้อยและหลักสิบ 10-2=8 จำนวน นั่นคือเลือกหลักร้อยได้ (8 วิธี) หลักสิบได้ (7 วิธี) ดังนั้น กรณีนี้มี 3x4x8x7= 672 จำนวน กรณี 3 หลักพันคือ 2 กรณี 3.1 หลักร้อยคือ 1,3,5,7,9 (5 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ (4 วิธี) เพราะหลักพันเลือกเลขคู่ไปแล้ว 1 ดังนั้นเหลือ เลขใส่หลักสิบ 7 ตัว (7 วิธี) ดังนั้นกรณีนี้มี 5x4x7=140 จำนวน กรณี 3.2 หลักร้อยคือ 4,6,8 (3 วิธี) เพราะหลักพันคือ 2 เลือกไม่ได้อีก [และกรณีเลขหลักร้อยเป็น 0 จะแยกเป็นกรณีที่ 3.3] และสามารถเลือกหลักหน่วยได้ (3 วิธี) เพราะหลักพันและหลักร้อยเลือกเลขคู่ไปแล้ว 2 ดังนั้นเหลือ เลขใส่หลักสิบ 7 ตัว (7 วิธี) ดังนั้นกรณีนี้มี 3x3x7=63 จำนวน กรณี 3.3 หลักร้อยคือ 0 [เพราะว่าจำนวนต้องมีค่ามากกว่า 2015] กรณี 3.3.1 หลักสิบคือ 1 มี 2016 2018 มี 2 จำนวน กรณี 3.3.2 หลักสิบคือ 3,5,7,9 (4 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ 4,6,8 (3 วิธี) มี 4x3=12 จำนวน กรณี 3.3.3 หลักสิบคือ 4,6,8 (3 วิธี) สามารถเลือกหลักหน่วยได้ (2 วิธี) [เพราะหลักพัน ร้อย สิบ เป็นเลขคู่เลือกไปแล้ว 3 เหลือ 2] มี 3x2=6 จำนวน ดังนั้น กรณีนี้มี 2+12+6=20 จำนวน รวมทั้ง 3 กรณีแล้ว ได้ทั้งหมด 1120+672+140+63+20=2015 จำนวน |
11. how many ways can we choose 3 different numbers from 1-20 such that their sun is equal to 30
จากโจทย์ ให้สามจำนวนเต็มนั้นคือ x,y,z $1\leqslant x< y< z\leqslant 20$ และ $x+y+z=30$ ลองแบ่งๆจำนวนดูก็พบว่า ถ้า x=1 ; จะเลือก y=2-14 , z=15-27 ได้ 13 วิธี ถ้า x=2 ; จะเลือก y=3-13 , z=15-25 ได้ 11 วิธี ถ้า x=3 ; จะเลือก y=4-13 , z=14-23 ได้ 10 วิธี ถ้า x=4 ; จะเลือก y=5-12 , z=14-21 ได้ 8 วิธี ถ้า x=5 ; จะเลือก y=6-12 , z=13-19 ได้ 7 วิธี ถ้า x=6 ; จะเลือก y=7-11 , z=13-17 ได้ 5 วิธี ถ้า x=7 ; จะเลือก y=8-11 , z=12-15 ได้ 4 วิธี ถ้า x=8 ; จะเลือก y=9-10 , z=12-13 ได้ 2 วิธี ถ้า x=9 ; จะเลือก y=10 , z=11 ได้ 1 วิธี ตัดกรณีที่ x,y,z มากกว่า 20 ออกจะเหลือ ถ้า x=1 ; จะเลือก y=9-14 , z=15-20 ได้ 6 วิธี ถ้า x=2 ; จะเลือก y=8-13 , z=15-20 ได้ 6 วิธี ถ้า x=3 ; จะเลือก y=7-13 , z=14-20 ได้ 7 วิธี ถ้า x=4 ; จะเลือก y=6-12 , z=14-20 ได้ 7 วิธี ถ้า x=5 ; จะเลือก y=6-12 , z=13-19 ได้ 7 วิธี ถ้า x=6 ; จะเลือก y=7-11 , z=13-17 ได้ 5 วิธี ถ้า x=7 ; จะเลือก y=8-11 , z=12-15 ได้ 4 วิธี ถ้า x=8 ; จะเลือก y=9-10 , z=12-13 ได้ 2 วิธี ถ้า x=9 ; จะเลือก y=10 , z=11 ได้ 1 วิธี จะได้จำนวนวิธีทั้งหมดในการเลือกเท่ากับ 6+6+7+7+7+5+4+2+1=45 วิธี |
 ต้องการความยาวรอบรูปของสามเหลี่ยม จะต้องทราบ AP ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลม เพราะว่า AO แบ่งครึ่ง BAC ดังนั้น PAO=30 องศา และเพราะว่า APO=90 องศา ดังนั้น $tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3} }=\frac{PO}{AP} $ เพราะว่า PO =1 จะได้ $AP=\sqrt{3} $ ดังนั้นความยาวรอบรูป $= 3(2r+2AP)=3(2(1)+2\sqrt{3} )=6+6\sqrt{3} $ |
ผมได้แบบนี้ครับ
  |
ต่อมาอีก 3 ข้อครับ
  |
22. If a>b>0 and $(a-b)(a^2-3b-1)$ is a prime, find the value of a and b
เพราะว่า $(a-b)(a^2-3b-1)$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น กรณี 1 $a-b=1$ และ $a^2-3b-1=จำนวนเฉพาะ$ จาก a-b=1 จะได้ a=b+1 ทำให้ $a^2-3b-1=(b+1)^2-3b-1=b^2+2b+1-3b-1=b^2-b=b(b-1)$ เพราะว่า $a^2-3b-1=จำนวนเฉพาะ$ ดังนั้น b(b-1) เป็นจำนวนเฉพาะด้วย นั่นคือ b หรือ b-1 เท่ากับ 1 ถ้า b=1 จะได้ b-1=0 ซึ่งทำให้ b(b-1)=0 ซึ่งไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ถ้า b-1=1 จะได้ b=2 ซึ่งทำให้ b(b-1)=2 ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ และจะได้ว่า a=3 ดังนั้น a=3 b=2 กรณี 2 $a^2-3b-1=1$ และ $a-b=จำนวนเฉพาะ$ จาก $a^2-3b-1=1$ จะได้ $a^2-3b=2\Rightarrow 3b=a^2-2\Rightarrow b=\frac{a^2-2}{3} $ จะได้ $a-b=a-\frac{a^2-2}{3}=\frac{-a^2+3a+2}{3}$ เพราะว่า a>b ดังนั้น $a-b=\frac{-a^2+3a+2}{3}>0$ เพราะว่า $\frac{-a^2+3a+2}{3}=-\frac{1}{3}(a-\frac{3}{2} )^2-\frac{17}{4} <0 $ ดังนั้นไม่มีจำนวนที่สอดคล้อง ตอบ a=3 b=2 เพียงกรณีเดียว |
 จากรูป (5sqrt2=$5\sqrt{2} $ และ 3sqrt2=$3\sqrt{2} $) เมื่อลากเส้นตรงจากจุดศูนย์กลางมาที่ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะตั้งฉากกันพอดี จาก ทบ.พีทาโกรัสจะได้ ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมยาว $3\sqrt{2} $ และ $5\sqrt{2} $ รวมแล้วได้เส้นทแยงมุมยาว $8+8\sqrt{2}$ ให้ m คือความยาวด้านของสี่เหลี่ยม $m^2=\frac{(8+8\sqrt{2})^2}{2} $ ตามสูตรการหาพื้นที่สี่เหลี่ยม จะได้ $m=\frac{8+8\sqrt{2}}{\sqrt{2} }=8+4\sqrt{2} $ |
 กำหนดจุด P และ Q $\frac{พื้นที่ \Delta GHC}{พื้นที่ \Delta ABC} =\frac{GC^2}{AC^2}=\frac{4^2}{5^2} =\frac{16}{25} $ $\frac{พื้นที่ \Delta GQE}{พื้นที่ \Delta GHC} =\frac{GQ^2}{GH^2}=\frac{2^2}{4^2} =\frac{4}{16}$ $\frac{พื้นที่ \Delta PHF}{พื้นที่ \Delta GHC} =\frac{HF^2}{HC^2}=\frac{1^2}{4^2} =\frac{1}{16}$ $\therefore พื้นที่แรเงา = \Delta GHC-\Delta GQE-\Delta PHF=16-4-1=11$=44% |
ไม่ทราบว่าข้อสอบนี้จากการแข่งขันอะไรคะ มีข้อสอบฉบับเต็มรึเปล่าคะ
|
อ้างอิง:
โจทย์ข้อ 21. มีพิมพ์ผิด is perpendicular to แก้เป็น is parallel to (แต่รูปถูกต้อง) Link ข้อสอบเก่าพร้อมเฉลย ดูที่นี่ค่ะ http://asmo2u.com/masmo-math/asmo-20...year-questions |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 00:58 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha