Calculus Marathon
เห็นว่า trend ของปัญหาช่วงนี้เป็นโจทย์แคลคูลัสซะส่วนใหญ่ก็เลยตั้งกระทู้นี้สำหรับคนรักแคลคูลัสโดยเฉพาะครับ กติกาก็ขอลอกกระทู้มาราธอนก่อนหน้านี้ละกัน ( คนที่ตอบปัญหาได้ก็มีสิทธิ์ถามปัญหาข้อต่อไปครับ) ผมขอเริ่มก่อนละกัน :D
1. จงหาค่าของ $\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin{x}+\cos{x}}dx }$ |
ช่วงนี้ฮิตเทคนิคเหมือนข้อก่อนๆรึเปล่าครับเนี่ยเหอๆ
ให้ \( x=\frac{\pi}{2} - y \) จะได้ \( dx = -dy \) และ $$ \begin{eqnarray} \int_{0}^ {\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\sin x +\cos x } dx &=& \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{ \frac{\pi}{2} - y }{1+\sin y +\cos y } (-dy)\\ &=& \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{ \frac{\pi}{2}}{1+\sin y +\cos y } dy - \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{ y}{1+\sin y + \cos y } dy \end{eqnarray} $$ ย้ายข้างไปรวมกันจะได้ \[ 2 \int^{\frac{ \pi }{2} }_0 \frac{ x }{1+\sin x +\cos x } dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{ \frac{\pi}{2} }{1+\sin x +\cos x } dy \] แอบอินทิเกรตก้อนหลังโดยใช้เครื่องมาจะได้ \[ \int^{\frac{ \pi }{2} }_0 \frac{ x }{1+\sin x +\cos x } dx = \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \frac{1}{2}\frac{ \frac{\pi}{2} }{1+\sin x +\cos x } dy = \frac{\pi}{4}\ln2 \] ขอใช้สิทธิ์ตั้งข้อต่อปายยยค้าบบบ จงแก้สมการเชิงอนุพันธ์ \( yy'' = (y')^2 \) Hint: สมการนี้อยู่ในรูปแยกตัวแปรได้ |
1. เริ่มจาก $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\cos(x-\pi/4)$ เปลี่ยนตัวแปร $u=x-\pi/4$ จะได้
$$ \int_0^{\pi/2}\frac{x-\pi/4}{1+\sin x+\cos x}dx=\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{u}{1+\sqrt{2}\cos u}du=0 $$ เพราะอินทิเกรนด์เป็นฟังก์ชันคี่บนช่วง $[-\pi/4,\pi/4]$ พิจารณา $$ \int_0^{\pi/2}\frac{\pi/4}{1+\sin x+\cos x}dx=\frac{\pi}{4}\int_0^1\frac{dv}{1+v} =\frac{\pi\ln2}{4} $$ โดย $v=\tan(x/2)$ |
2. ได้ $(\ln y')'=(\ln y)'$ ดังนั้น $\ln y'=\ln y+C_1$ ดังนั้น $y'=Cy$ สมมูลกับ $(\ln y)'=C$ เพราะฉะนั้น $\ln y=Cx+C_2$ เพราะฉะนั้น $y=De^{Cx}$
ข้อต่อไปนะครับ 3. จงหาค่า $\int_0^1(\sqrt[7]{1-x^3}-\sqrt[3]{1-x^7})dx$ |
ข้อ 3. คำตอบเป็นเลขลงตัวสวยๆครับ (Hint: by parts)
|
ข้อ 3
บน x ในช่วง [0,1] ถ้า $ y= \sqrt[7]{1-x^{3}} $ ดังนั้น $ x= \sqrt[3]{1-y^{7}} $ และทำให้ $ \int_{0}^{1} \sqrt[7]{1-x^{3}} dx =\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-y^{7}} dy $ (เพราะ เราอินทิเกรตบนพื้นที่ใต้กราฟเดียวกัน เพียงแต่ LHS มองเทียบกับ x และ RHS มองเทียบกับ y) สรุปว่า ข้อนี้ตอบ 0 ครับ งั้นผม ถามข้อ 4 ต่อนะครับ 4. Calculate $$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{2^{n}(n+1)} $$ |
3. จะพิสูจน์ Lemma ต่อไปนี้
Lemma : ให้ $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ และ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งโดยที่ $f(0) = 1$ และ $ f(1) = 0$ จะได้ว่า $$ \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} f^{-1}(x) dx $$ Proof : เพื่อความสะดวกให้ $g=f^{-1}$ ให้ $t = f(x)$ จะได้ $x = g(t)$ ดังนั้น $dx = g'(t)dt$ ซึ่งจะได้ว่า $$ \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{1}^{0} tg'(t) dt = - \int_{0}^{1} tg'(t) dt = - [tg(t)]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} g(t) dt = \int_{0}^{1} g(t) dt $$ โดย integration by parts ดังนั้นคำตอบข้อ 3 คือ 0 ครับ :sung: |
ว้าวๆๆๆ เยี่ยมมากเลยครับสำหรับวิธีทำทั้งสองแบบ ของคุณ passer-by และ คุณ nooonuii
สำหรับวิธีของคุณ nooonuii มีจุดสำคัญอันหนึ่งครับ(ซึ่งตำราแคลเบื้องต้นเลี่ยงที่จะกล่าวถึง) สูตรการเปลี่ยนตัวแปรหรือเทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร เวลาเรากำหนดตัวแปรใหม่ $u=f(x)$ มันสำคัญมากครับที่ $f$ ต้องเป็นฟังก์ชัน 1-1 บนช่วงการอินทิเกรต ตัวอย่างเช่น $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2xdx$ ถ้าให้ $u=\cos x$ (ไม่ 1-1 บนช่วง $[-\pi/2,\pi/2]$) จะได้ช่วงการอินทิเกรตคือ $[\cos(-\pi/2),\cos(\pi/2)]=[0,0]$ ดังนั้นอินทิกรัลเท่ากับศูนย์ !!! |
4. ให้ $ \displaystyle{ f(x) = \frac{2}{2-x} = \frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{2})^n, \ 0\leq x \leq 1 }$
จะได้ว่า $\displaystyle{ 2 = f'(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} }$ $\displaystyle{ 2\ln{2} - 1 = \int_{0}^{1} f(x) dx - 1 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(n+1)} }$ ดังนั้น $\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(n+1)} = 2 - 1 + 2\ln{2} - 1 = 2\ln{2} }$ :sung: |
ทำไม $$\int_0^1 \sqrt[7]{1-x^3}dx=\int_0^1\sqrt[3]{1-y^7}dy$$
ทำไมเป็น dy WHY ?? |
ต้องบอกน้อง Mastermander ก่อนว่า สิ่งที่น้องเห็นในสมการนั้น ไม่ใช่การแปลงโฉมซ้ายมือ ให้เป็นขวามือนะครับ แต่เป็นการแสดงพื้นที่ใต้กราฟเป็น 2 มุมมอง คือ มองเทียบกับ แกน X (dx) และเทียบกับแกน Y (dy)
บนช่วงของ X ดังกล่าว ฟังก์ชัน $y= \sqrt[7]{1-x^{3}} $ มีจุดปลายวิ่งจาก (0,1) ไปยัง (1,0) ถ้าต้องการหาพื้นที่ใต้กราฟ โดยมองเทียบกับแกน X จะได้ Area = $ \int_{0}^{1} \sqrt[7]{1-x^{3}} dx $ และถ้ามองเทียบแกน Y (เสมือนมองให้แกน Y อยู่แนวนอน และแกน X อยู่แนวตั้ง) ก็ต้องเขียน xเป็นฟังก์ชันของ y ให้ได้ก่อน ซึ่งก็จะได้ $ x= \sqrt[3]{1-y^{7}} $ จากนั้นก็อินทิเกรตหาพื้นที่ โดย Area = $ \int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-x^{7}} dy $ เนื่องจากเราพิจารณาพื้นที่เดียวกัน ก็เลยเกิดสมการที่ว่าข้างต้นครับ ส่วนคำตอบคุณ nooonuii ถูกแล้วครับ และได้สิทธิ์ตั้งคำถามต่อไป |
ขอบคุณมากครับ
|
5. จงหาจำนวนจริงทั้งหมดซึ่งเป็นคำตอบของสมการ
$2^x + 3^x + 6^x = 7^x$ :sung: |
5. $x=2$ only :D :D :D
|
ข้อ 5 x=2 เป็นคำตอบเพียงคำตอบเดียวถูกแล้วครับ แต่ทำไมไม่มีคำตอบอื่นครับ :p
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:54 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha