Flanders MO 2001
 

จงพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนเต็ม n ที่มากกว่า 1 แล้ว (n-1)^2 หาร (n^n-1) - 1 ลงตัว
หวังว่าจะมีคนตอบหลายๆคนนะ เพราะข้อนี้ไม่ยากนัก

เปลี่ยนโจทย์ให้พิมง่ายๆขึ้นหน่อยว่า..
จงพิสูจน์ว่า สำหรับ จน นับ n จะได้ n² | (n+1)ⁿ -1

(n+1)ⁿ -1 =n*[ (n+1)^n-1 +(n+1)^n-2+...+1]

สังเกตว่า (n+1) ยกกำลังอะไรก็ตาม หาร n แล้วเหลือเศษ 1 เสมอ

.: จะมีเหลือเศษ 1 จาก (n+1)^... อยู่ (n-1) ตัว แล้วก็มี +1 ด้านหลังอีก 1 รวมเป็น n พอดี
ดังนั้น n หารทั้งก้อนลงตัว

วิธีของคุณ Hell ถ้าเขียนในแบบ induction คิดว่าจะสมบูรณ์กว่านะ

ขอเพิ่มอีกวิธีนึงล่ะกัน
ให้ f(n)=(n^n-1) - 1
พบว่า f(1)=0 and f '(1) =0
ดังนั้น f(n) มี (n-1)^2 เป็นตัวประกอบ
แต่ในการสอบโอลิมปิกจะไม่อนุญาตให้ใช้แคล
ก็ถือว่ารู้ไว้เล่นๆก็แล้วกัน