ข้อสอบเพชรยอดมงกุฏ 2550
1. จำนวนเต็ม n ในข้อใดต่อไปนี้ทำให้ $x^2 + x + 1 $หาร $x^{2n} + 1 +(x+1)^{2n}$ ไม่ลงตัว
1. 17 2. 20 3. 21 4. 64 2.กำหนดให้ $lim โดยที่ h เข้าใกล้ 0\frac{ln( 1 + h)}{h} = 1 $ และ f(x) =$ln\sqrt{x} $ สมการเส้นตรงในข้อใดต่อไปนี้แทนสมการของเส้นสัมผัสกราฟ y = f(x) ณ จุด(1,0) 1. $ y=1/2(x-1)$ 2. $y = x-1$ 3. $ y = 1/2x -1$ 4. $y-1 = 1/2x$ ขอบคุณมากครับ ช่วยแสดงวิธีคิดให้หน่อยนะครับ (ใช้ latex ไม่ค่อยเป็น โทษทีครับ) เฉลย 1. 3 2. 1 ลากแถบๆดำๆนะครับ |
ข้อ 1
ถ้า $ x^2+x+1 |(x^{2n} + 1 +(x+1)^{2n}) $ แสดงว่ารากของ $ x^2+x+1$ ต้องเป็นรากของ $ x^{2n} + 1 +(x+1)^{2n}$ ถ้าให้ $\omega $ เป็นรากของ $ x^2+x+1$ ดังนั้น $ \omega^2+ \omega+1 =0$ และ $ 0=\omega^{2n} + 1 +(\omega+1)^{2n} = \omega^{2n} + 1 +(\omega^2+2\omega+1)^n = \omega^{2n} + 1 +(\omega)^n \cdots (*)$ สังเกตอีกนิด จะพบว่า $ \omega^3=1$ แล้วลองแทนค่า n เข้าไปใน (*) ครับ จะพบว่า 21 ไม่ทำให้สมการเป็น 0 ได้ ข้อ 2 ถ้า $g(x)= \ln x $ แล้ว $ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\ln(1+h)}{h}= g'(1) =1 $ จากนั้นสังเกตว่า $ f(x) = \frac{1}{2}g(x)$ ก็เรียบร้อยครับ |
ขอบคุณมากครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:16 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha