|
ข้อสอบ สอวน2550 รอบ 2 ออกแล้วครับ
4 ไฟล์และเอกสาร
ตามนี้เลยครับ
|
ขบคุณครับสำหรับข้อสอบ แต่ตัวเล็กไปหน่อยนะครับ
|
มาแอบเก็บข้อพีชคณิตข้อง่ายๆก่อนดีกว่าครับ (ก่อนจะโดนเหล่าเซียนแย่งไป :) )
ข้อ 2 f(0,2550) = 2550 f(1,2550) = f(0 ,f(0,2550)) = f(0,2550) = 2550 f(2,2550) = f(1 ,f(1,2550)) = f(1,2550) = 2550 f(3,2550) = f(2 ,f(2,2550)) = f(2,2550) = 2550 จะเห็นว่า f(a ,2550) = 2550 ทุกจำนวนเต็มบวก a ดังนั้น f(100,2550) = 2550 ข้อ 3. $$ x - \sqrt{1-\frac{1}{x}} = \sqrt{x-\frac{1}{x}} $$ $$ x^2 - 2x \sqrt{(x-\frac{1}{x} )} + x-\frac{1}{x} = 1-\frac{1}{x} $$ $$ x^2 +x -1=2x \sqrt{(x-\frac{1}{x} )} $$ $$ x+1-\frac{1}{x} =2 \sqrt{(x-\frac{1}{x} )} $$ ให้ $x-\frac{1}{x} = \alpha $ $$ \alpha +1 = 2 \sqrt{\alpha } $$ $$ \alpha^2 -2\alpha +1 = (\alpha -1)^2 = 0 $$ จะได้ $ x = \frac{1\pm \sqrt{5}}{2} $ แต่ค่า x>0 ดังนั้น $x = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}$ |
ขอบคุณครับสำหรับข้อสอบ แต่ตัวเล็กไปนิด ถ้าตัวใหญ่กว่านี้ได้จะดีมากๆเลย :)
|
เอาไปขยายใน ACD See ได้ครับ เดิมตัวใหญ่กว่านี้มากครับ แต่เว็บบอกว่า ห้าทลง ผมเลยย่อลงมาเรื่อยๆจนเว็บให้ลงครับ
|
ยังไม่ได้คิดข้อยากๆครับ
Logic and Proof and Inequality จะพิสูจน์ว่า $f(y)=f(0)$ ทุกค่า $y$ ถ้า $y>0$ ให้ $P=y,x=0$ ถ้า $y<0$ ให้ $P=-y,x=y$ $$7a+5b+12ab=7a+5b+4ab+8ab\leq 7a+5b+4ab + 6 - 9a^2-7b^2\leq 9$$ อสมการสุดท้ายสมมูลกับ $2(a-b)^2 + 7(a-0.5)^2+5(b-0.5)^2\geq 0$ ใช้อสมการ AM-GM กับตัวแปร $a^2,b^2$ $$\frac{2}{(a+1)^2+b^2+1}=\frac{2}{(a^2+b^2)+2(a+1)}\leq\frac{1}{1+a+ab}$$ ดังนั้น $$LHS\leq \frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ca}=1$$ โดย Power mean inequality $$\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}}\geq\frac{a+b+c+d}{4}$$ โดย Maclaurin inequality $$\frac{a+b+c+d}{4}\geq\sqrt[3]{\frac{abc+bcd+cda+dab}{4}}$$ ใช้ AM-HM กับ $$a,b,\frac{c}{2},\frac{c}{2},\frac{d}{4},\frac{d}{4},\frac{d}{4},\frac{d}{4}$$ ใช้อสมการโคชีได้ $$LHS\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{4(ab+bc+cd+da+ac+bd)}\geq \frac{2}{3}$$ อสมการสุดท้ายพิสูจน์จาก $ab+bc+cd+da\leq a^2+b^2+c^2+d^2$ โดยอสมการโคชี $2(ac+bd)\leq a^2+b^2+c^2+d^2$ โดยการจัดรูป |
คุณ putmusic ลองใช้ photoshop ย่อแล้ว save for web หรืออัพโหลดที่ web host ตัวอื่นแล้วลิงค์ภาพมาดูนะครับ เผื่อจะมีสมาชิกในบอร์ดช่วยขยายขนาดภาพ (resolution) โดยเส้นไม่แตกและขนาดพอโพสต์ลงบอร์ดได้ครับ
ผมขอลงแค่แนวคิดก่อนนะ (A=Algebra, NT=Number theory) A1: จาก $a^3+(-b)^3+(-c)^3=3a(-b)(-c)$ จะแจงได้สองกรณีดังนี้ Case1: $a=b+c$ ในกรณีนี้จะได้ $a^2=2a$ ดังนั้น $a=2,\ b=c=1$ แต่เมื่อแทนค่ากลับพบว่าไม่สอดคล้อง Case2: $a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc=0$ ผมยังไม่ได้ทด แต่แนวคิดคือพยายามเขียนเทอมที่มี $b$ และ/หรือ $c$ ให้อยู่ในเทอมของ $a$ เพื่อแก้หา $a$ ก่อนพิจารณาค่า $b,c$ A4: $x^4y+4x^3y^2+4x^2y^3+xy^4=xy(x+y)^3+x^2y^2(x+y)=xy(x+y)(x^2+3xy+y^2)$ A5: นิยาม $q(x)=p(x)-5$ จากโจทย์จะได้ $q(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)s(x)$ สำหรับ monic polynomial $s\in\mathbb{Z}[x]$ โจทย์ต้องการหาว่ามี $k\in\mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $q(k)=3$ หรือไม่ เนื่องจากแต่ละ'ตัวประกอบ'ในผลคูณเป็นจำนวนเต็ม จะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งที่เท่ากับสาม แต่ไม่ว่าจะเลือกตัวใดก็ตาม จะมีสองในสี่'ตัวประกอบ'เท่ากับ 1 หรือ -1 ซึ่งขัดกับการที่ $a,b,c,d$ แตกต่างกันทั้งหมดครับ NT3: เป็นผลโดยตรงจาก fundamental theorem ครับ |
Algebra
ถ้าดูโจทย์ไม่ผิดตอบ $xy(x+y)(x^2+3xy+y^2)$ จากเงื่อนไขโจทย์ได้ $P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)Q(x)+5$ สมมติว่ามี $k$ ซึ่งทำให้ $P(k)=8$ จะได้ $$(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)Q(k)=3$$ ซึ่งขัดแย้งเนื่องจาก $|(k-a)(k-b)(k-c)(k-d)| \geq 4$ (เพราะว่าทั้งสี่จำนวนนี้มีค่าแตกต่างกันและไม่เป็นศูนย์):yum: |
Number Theory
$$R_n=\frac{10^n-1}{9}$$ a) ให้ $m=kn$ จะได้ $$R_m=\frac{10^{kn}-1}{9}=\Big(\frac{10^n-1}{9}\Big)(10^{n(k-1)}+\cdots + 10^n + 1)$$ ดังนั้น $R_n\mid R_m$ b) ใช้สูตร $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$ จะได้ว่า $9(R_m,R_n)=(9R_m,9R_n)=(10^m-1,10^n-1)=10^1-1=9$ ดังนั้น $(R_m,R_n)=1$ ให้ $a_n=333\cdots 31$, $a_n$ มี $3$ $n-1$ ตัว จะได้ว่า $a_n=3(111\cdots 1) - 2 = 3\Big(\frac{10^{n}-1}{9}\Big)-2=\frac{10^n-7}{3}$ ดังนั้น $3a_n=10^n-7$ โดย Fermat's Little Theorem จะได้ว่า $10^{16n}\equiv 1 (\, \text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$ และเราทราบว่า $10^9\equiv 7 (\, \text{mod}\, 17)$ ดังนั้น $10^{16n+9}\equiv 7 (\, \text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$ เราจึงได้ว่า $3a_{16n+9}\equiv 0 (\,\text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$ แต่ $(3,17)=1$ เราจะได้ $a_{16n+9}\equiv 0 (\,\text{mod}\, 17)$ ทุกค่า $n$ เพราะฉะนั้น $a_{16n+9}$ เป็นจำนวนประกอบ ทุกค่า $n$ :yum: |
ผมจัดให้ตามคำขอครับ และเพิ่มให้อีกวิชาคือ คอมบินาทอริก คิดว่าน่าจะพอดูได้นะครับ
     |
Apologise for typing English, it'll be normal in Thai language by 22 Nov 2007
Members could comment ,if you find mistake. Number Theory 5. 1958 putnam 4. (i) If n is odd greater than 1, that number is even number greater than 2 (not prime) (ii)If n is even number, pair up like the following : Since $ 1^{2007} \equiv 1^{2007} (\text{mod}\,(n+1)) $ and $n^{2007} \equiv (-1)^{2007} (\text{mod}\, (n+1)) \Rightarrow 1^{2007}+ n^{2007} \equiv 0 (\,\text{mod}\, (n+1) )$ And consider pairs $(2,n-1) ,(3,n-2), \cdots (\frac{n}{2}, \frac{n}{2}+1) $ , It implies that such sum is divisible by n+1 and thus it's not prime Geometry 1. Consider cyclic ABED,we can imply that $ D\hat{A}E =E\hat{A}B $ because EBD is isosceles triangle Together with other three reasons, (i) $ D\hat{A}E =D\hat{C}E $ (same arc) (ii) $ D\hat{C}E =C\hat{F}G$ (parallel line) (iii) ABCD is cyclic , we can easily calculate all angles in triangle CFG and show that it's isosceles triangle 2. It's easy to show that EFGH is parallelogram, by using property that line segment joining 2 midpoints of triangle is parallel to third side. Extend DC to RHS of C to ,say,X and join EX , we then have two congruent triangles ABE , ECX Now we can consider area of triangle AXD instead , Since Area of EFGH is half of triangle AED and AE=EX (by such congruence shown above) ,it means that area of EFGH is one-fourth of triangle AXD (=area of ABCD) 3. Use triangle's inequality for latter inequality. The former one can be deduced by using the fact that,for any convex quadrilateral, sum of its diagonals is more than half of its perimeter (should prove before using this fact) |
รู้สึกว่าใหญ่ไปหรือเปล่า:confused: สงสัยผมลืมย่อ พอสแกนได้ก็ส่งขึ้นเว็บเลย ขอโทษด้วยถ้ามันใหญ่ไปครับ
|
Inequality ข้อ 3.
ใช้ AM.-GM. กับ $(a+1)^2+b^2+1=(a^2+b^2)+2a+2 \geq 2ab+2a+2$ |
combinatoric
1. 125 2. 109200 3. 36 4. $\frac{10!}{2!2!6}$ 5. 1260 6. $(6+n)2^{n-1}$ 8. 47 9. 102 |
Combinatoric
พิจารณา เลข 4 หลัก(เลขโดดติดกัน) abcd = (ab x100)+ cd ดังนั้น จำนวนที่หาร 4 ลงตัว จะพิจารณาเพียง 2 หลักท้ายเป็นหลัก ซึ่งได้ 5 จำนวน คือ 12, 24, 32, 44, 52 สำหรับ a , b เป็นจำนวนใดก็ได้ Ans 5x5x5 = 125 ขั้นที่ 1 เลือกจำนวนที่จะนำมาสร้าง 4 จำนวน $ \binom{8}{4} $ ขั้นที่ 2 สมมติเลือกเลข a,b,c,d มา จะแยกกรณีได้ 2 กรณีคือ 1 มีเลขซ้ำกัน 3 ตัวหนึ่งเลข Ex. aaabcd 1-1 เลือกเลขที่จะซ้ำจาก 4 จำนวน $ \binom{4}{1} $ 1-2 สลับจำนวนรูปแบบดังกล่าวได้ $ \frac{6!}{3!} $ 2 มีเลขซ้ำกัน 2 ตัว อย่างละ 2 เลข Ex.aabbcd 2-1 เลือกเลขที่จะซ้ำจาก 4 จำนวน $ \binom{4}{2} $ 2-2 สลับจำนวนรูปแบบดังกล่าวได้ $ \frac{6!}{2!2!} $ Ans $ \binom{8}{4} [\binom{4}{1}\frac{6!}{3!} +\binom{4}{2}\frac{6!}{2!2!}] $ ถ้าสมมติให้ 0 เป็นการทาสีช่องบน 1 ทาสีช่องล่าง - ไม่ทาสี (ขี้เกียจทำเป็นภาพคับ = =) 010101010- , 101010101- แถบซ้าย 2 วิธี ขวาไม่มี 01010101-0 , 10101010-0 แถบซ้าย 2 วิธี ขวาได้ 2 วิธี (0 ,1) 0101010-01 , 1010101-01 แถบซ้าย 2 วิธี ขวาได้ 2 วิธี (01 , 10) ..... 0-01010101 , 1-01010101 แถบซ้าย 2 วิธี ขวาได้ 2 วิธี (01010101 , 10101010) -010101010 , -101010101 ซ้ายไม่มี ขวาได้ 2 วิธี Ans 2+(4x8)+2 = 36 แยก 3 กรณี 1.กรณีติดกัน 3 ตัว IOU จัดได้ $ \frac{8!}{2!2!} $ 2.กรณีติดกัน 2 ตัว IO-U , I-OU (ได้ 2 แบบ) 2-1 จัดพยัญชนะทั้งหมดได้ $\frac{7!}{2!2! } $ 2-2 นำสระ 2 กลุ่มเข้าไปแทรกช่อง 8 ช่อง $ \binom{8}{2} $ 3 กรณีไม่ติดกันเลย 3-1 จัดพยัญชนะทั้งหมดได้ $\frac{7!}{2!2! } $ 3-2 แทรกสระ $ \binom{8}{3} $ Ans $\frac{8!}{2!2!} + 2. \frac{7!}{2!2! }\binom{8}{2}+\frac{7!}{2!2! }\binom{8}{3}$ $ \frac{9!}{2!3!4!} $ $$ 3 \binom{n}{0} + 4 \binom{n}{1} +..+ (n+2) \binom{n}{n-1} + (n+3) \binom{n}{n} = S $$ $$ (n+3) \binom{n}{0} + (n+2) \binom{n}{1} +..+ 4 \binom{n}{n-1} + 3 \binom{n}{n} = S $$ $$ (n+6) [\binom{n}{0} \binom{n}{1} +..+ \binom{n}{n-1} + \binom{n}{n}] = 2S $$ $$ (n+6) 2^{n-1} = S $$ ช 2 ญ 4 = $\binom{4}{2}\binom{6}{4} $ ช 2 ญ 5 = $\binom{4}{2}\binom{6}{5} $ ช 2 ญ 6 = $\binom{4}{2}\binom{6}{6} $ ช 3 ญ 6 = $\binom{4}{3}\binom{6}{6} $ คล้ายๆการหาจำนวนตัวประกอบ ของจำนวน 2x3x4x4x5x5x5 เลือก 2 ได้ 2 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว) เลือก 3 ได้ 2 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว) เลือก 4 ได้ 3 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว, เลือก 2 ตัว) เลือก 5 ได้ 4 แบบ (ไม่เลือก ,เลือก 1 ตัว, เลือก 2 ตัว, เลือก 3 ตัว) 2x2x3x4 -1 (เนื่องจากถ้าไม่เลือกเลย ไม่ได้) = 47 แบบ หมายเหตุ ในโจทย์บอกว่าจำนวนเต็มบวกที่"เกิดจากคูณเลข" ไม่แน่ใจว่าการเลือก 1 ตัวจะเป็นส่วนหนึ่งของคำตอบรึเปล่า ถ้าต้องเกิดจากการคูณระหว่าง 2 ตัวขึ้นไป ก็ตอบ 47-4 = 43 การหาจำนวนที่ 20 หารลงตัว คือหาจำนวนที่แยกตัวประกอบได้เป็นอย่างน้อย 2x2x5 กรณีที่ 1 = 5,คู่,คู่ 1.1-1 เลขคู่ซ้ำมี 4 แบบ 522, 544, 566, 588 1.1-2 นำมาสลับกันได้ $ \frac{3!}{2!} $ 1.2-1 เลขคู่ไม่ซ้ำ ได้ $ \binom{4}{2} $ 1.2-2 นำมาสลับกันได้ 3! กรณีที่ 2 = 5,คู่,คี่ 2-1 เลขคู่ต้องเป็น 4 , 8 เท่านั้น (2 แบบ) 2.1-2 เลขคี่เป็น 1,3,7,9 (4 แบบ) 2.1-3 สลับกันได้ 3! 2.2-2 เลขคี่เป็น 5 2.2-3 สลับกันได้ $ \frac{3!}{2!} $ Ans $ [(4x3)+(6x6)]+2[(4x6)+ 3] $ =102 ลำดับที่ 1 = AACEHI//MMSTT พิจารณา "MMSTT" สลับกันได้ $\frac{5!}{2!2!} = 30 $ ดังนั้นลำดับที่ 31 = AACEHM//IMSTT พิจารณา "IMSTT" สลับกันได้ $\frac{5!}{2!} = 60 $ ดังนั้นลำดับที่ 91 = AACEHS//IMMTT จะได้ว่าลำดับที่ 92 = AACEHSIMTMT |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 23:23 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha