|
ข้อสอบคัดตัวแทนศูนย์ 2013
Algebra
1. กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก และ $r$ เป็นจำนวนจริง จงหาคู่อันดับ $(n,r)$ ทั้งหมดที่ทำให้พหุนาม $(x-1)^n-r$ หารด้วย พหุนาม $2x^2-2x+1$ ลงตัว 2. จงแสดงว่าไม่มีเซตจำกัด $M \subset \mathbb{R} -\left\{\,0\right\} $ ที่ทำให้สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ พหุนามดีกรีมากกว่า $n$ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์เป็นสมาชิกของ $M$ มีรากทุกตัวเป็นสมาชิกของ $M$ ----------------------------------------------------------------------------------------- Number Theory 1. จงหาจำนวนเต็มบวก $a$ ที่น้อยที่สุด ซึ่งสอดคล้องกับ $1971\mid 50^n+a\cdot 23^n$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคี่ 2. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่น้อยที่สุดที่ทำให้เลขสามหลักท้ายของ $3^n$ คือ $003$ ----------------------------------------------------------------------------------------- Inequality 1. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{a}{\sqrt[3]{a+\frac{1}{c}+\frac{1}{3}}}+\frac{b}{\sqrt[3]{b+\frac{1}{a}+\frac{1}{3}}}+\frac{c}{\sqrt[3]{c+\frac{1}{b}+\frac{1}{3}}}>\sqrt[3]{3}$$ 2. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $3xyz(x+y+z)=1$ จงหาค่ามากที่สุดของ $x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}$ พร้อมระบุค่าของ $x,y,z$ ที่ทำให้เกิดค่ามากที่สุด ----------------------------------------------------------------------------------------- Combinatoric 1. พิจารณาจำนวนเต็มบวกที่แตกต่างกัน $7$ จำนวน และมีค่าไม่เกิน $1706$ จงพิสูจน์ว่า มี $a,b,c$ ใน $7$ จำนวนนี้ที่สอดคล้องกับ $a<b+c<4a$ 2. ในเดือนมีนาคม 2556 ที่ผ่านมา บริษัทแห่งหนึ่งขายเครื่องคอมพิวเตอร์ได้ $100$ เครื่อง เป็นเครื่องที่มีจอสี $50$ เครื่อง เป็นเครื่องที่มีฮาร์ดดิสก์ $50$ เครื่อง และขายเครื่องพร้อมเครื่องพิมพ์ $30$ เครื่อง ในจำนวนนี้มีอยู่ $5$ ชุดที่มีทั้งจอสี ฮาร์ดดิสก์และเครื่องพิมพ์ อยากทราบว่า บริษัทนี้ขายเครื่องไปอย่างน้อยกี่เครื่องที่ไม่ใช้จอสี ไม่ฮาร์ดดิสก์และไม่มีเครื่องพิมพ์ ----------------------------------------------------------------------------------------- Functional Equation 1. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $f(xy)+f(x-y)+f(x+y+1)=xy+2x+1$ สำหรับทุกๆ $x,y \in \mathbb{R}$ 2. จงหา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $(x+y)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x+y)$ สำหรับทุกๆ $x,y \in \mathbb{R}$ ----------------------------------------------- Geometry 1. ให้ $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลากเส้นตรงผ่านจุด $A$ มาตัดกับส่วนต่อขยายด้าน $CB$ และ ส่วนต่อขยายด้าน $CD$ ที่จุด $E$ และ $F$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $CB\cdot CE+CD\cdot CF=AC^2+AE\cdot AF$ 2. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลมตัดกับด้าน $BC$ ที่จุด $A_1,A_2$ ตัดด้าน $CA$ ที่จุด $B_1,B_2$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $C_1,C_2$ ถ้า $B_1C_1$ และ $B_2,C_2$ ตัดกันที่จุด $X$, ถ้า $C_1A_1$ และ $C_2,A_2$ ตัดกันที่จุด $Y$และ $A_1B_1$ และ $A_2,B_2$ ตัดกันที่จุด $Z$ จงแสดงว่า $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียวกัน |
1971=27x73 27=50-23 73=50+23 |
geo,function หายไปไหนอ่ะครับ หรือยังไม่ได้สอบครับ แต่ขอบคุณมากๆครับ
ผมอยากโหด คอมบิ+เรขาอ่ะ ทำไม่ค่อยได้สักที ขอ hint combi ทั้งสองข้อหน่อยครับ |
โดยโคชี่ $\sqrt x(\sqrt{xyz})+\sqrt y(\sqrt{xyz})+\sqrt z(\sqrt{xyz})\leqslant \sqrt{x+y+z}\sqrt{3xyz}=1$ เป็นสมการเมื่อ $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
โดยไม่เสียนัยให้7จำนวนที่เลือกมาคือ $x_1<x_2<x_3<...<x_7$ เลือก $a=x_1$ และ b=$x_2$ และ $c=x_7$ เห็นได้ชัดว่า $a<b+c $ พิจารณา $x_2<x_7 $ จะได้ $x_2<3x_7$ ดังนั้น $x_2+x_3<4x_7$ จึงได้ว่ามี $a,b,c$ ที่ $a<b+c<4c$ |
คอมบิรู้สึกอาจารย์จะพิมพ์โจทย์ผิดทั้งสองข้อ ข้อแรกจาก<4cเป็น<4a
ส่วนGE,FEยังไม่สอบครับ |
อ้างอิง:
|
ง่ายมากครับ:haha::haha::haha::haha::haha::haha::haha: ถ้า $abc = 1$ ได้ว่า $\sum\frac{a}{a+ab+1} = 1 $ จัดรูปสมการเป็น $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{3a+3ab+1} } > 1 $ แล้วใช้ Weighted AM-GM กับส่วนด้านล่าง |
$3^n\equiv \binom{10}{2} 7^{n-2}(10^2)+\binom{10}{1}7^{n-1}(10)+ \binom{10}{0}7^n(mod1000)$ |
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
ปล.ยินดีกับคุณcoke ด้วยนะครับ ได้เป็นตทศ.แล้ว :kaka: |
อ้างอิง:
|
GEOMETRY
[GE1] ให้ $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ลากเส้นตรงผ่านจุด $A$ มาตัดกับส่วนต่อขยายด้าน $CB$ และส่วนต่อขยายด้าน $CD$ ที่จุด $E$ และ $F$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $CB\cdot CE + CD\cdot CF = AC^2 + AE \cdot AF$ [GE2]ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลมตัดกับด้าน $BC$ ที่จุด $A1,A2$ ตัดด้าน $CA$ ที่จุด $B1,B2$ ตัดด้าน $AB$ ที่จุด $C1,C2$ ถ้า $B1C1$ และ $B2C2$ ตัดกันที่จุด $X$ $A1C1$ และ $A2C2$ ตัดกันที่จุด $Y$ $B1A1$ และ $B2A2$ ตัดกันที่จุด $Z$ จงแสดงว่า $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียวกัน |
GE2 วงกลมที่ตัดเป็นวงกลมเดียวกันหมดใช่มั้ยครับ
และจุดพวก $A_{1},A_{2}$ พวกนี้อ่ะครับ มันเรียงตำแหน่งยังไงบนด้าน?? |
ให้ $A_1$ อยู่ใกล้ B นะครับแล้วก็วนทวนเข็มเป็น $A_2,B_1,B_2,C_1,C_2$ แบบนี้ครับ(ถ้าใช่นะ) Ceva สามครั้งครับ
|
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:24 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha