Plane Coloring
 

อันที่จริง โจทย์ข้อนี้ น่าจะเป็น Combinatorics มากกว่า แต่ผมเห็นว่ามันมีเรขาคณิตเกี่ยวข้อง เลยนำมาไว้ในนี้ครับ

จงแสดงว่า เราสามารถระบายสีระนาบด้วยสีแดง และสีเขียว ซึ่งทำให้ระนาบสอดคล้องเงื่อนไขสี่ข้อต่อไปนี้
(1) มีเส้นตรงเป็นอนันต์เส้นที่ไม่มีจุดสีแดงอยู่บนเส้นตรงเลย;
(2) วงกลมใดใดในระนาบ จะมีจุดบนเส้นรอบวงมีสีแดงเป็นอนันต์จุด;
(3) วงกลมใดใดในระนาบจะมีจุดสีแดงอยู่ภายในวงกลม และจุดสีเขียวภายในวงกลมเสมอ;
(4) ทุก $n \geq 3$ จะมีรูป $n$ เหลี่ยมปกติที่มีจุดยอดทุกจุดเป็นสีแดงอย่างน้อยหนึ่งรูป และสีเขียวอย่างน้อยหนึ่งรูปเสมอ
:kaka:

(หมายเหตุ : (3) หมายความว่า จุดสีแดง และ จุดสีเขียว dense ในระนาบ)

เข้าใจว่า โจทย์ก่อนที่จะแก้ไขครั้งที่สองนี้คงจะง่ายไปนะครับ
ผมขออนุญาต, ในขณะที่ยังไม่มีคนตอบกระทู้, แก้ไขเงื่อนไขข้อสามเล็กน้อยนะครับ
หวังว่า โจทย์คงจะยากขึ้น
ขอบคุณครับ,
Spotanus

ในตอนแรก ระบายจุด $(x,y)$ ด้วยสีเขียวเมื่อ $x$ เป็นจำนวนตรรกยะ และสีแดงเมื่อ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
จะเห็นว่าสอดคล้องเงื่อนไขข้อ 1,2,3

ต่อไปเราจะพยายามเปลี่ยนสีของจุดบางจุด เพื่อให้สอดคล้องกับเงื่อนไขข้อ 4
แบ่งระนาบออกเป็นช่วงๆ ตามพิกัด $x$ โดยแบ่งเป็นช่วง $[3,4), [4,5), [5,6), ...$
ในช่วง $[n,n+1)$ วาดรูป $n$ เหลี่ยมปกติรูปเล็กๆ ลงไปในช่วงนั้น 2 รูป (โดยให้รูปทั้งสองไม่ซ้อนทับกัน) และเปลี่ยนสีจุดมุมของรูปแรกให้เป็นสีแดง และของรูปที่สองให้เป็นสีเขียว
จะเห็นว่าการระบายสีสอดคล้องกับเงื่อนไขข้อ 4 และยังคงสอดคล้องกับเงื่อนไข 3 ข้อแรกอยู่