ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete (ข้อความที่ 143508) 1. ถ้า $0<x<\frac{\pi }{2}$ จงหาค่าของ $arccot {\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}}$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete (ข้อความที่ 143596) ผมดูที่เขาเฉลย ข้อ 2 แบบย่อ...โดยการแทน $x^2=\sin2\alpha$ อยากทราบว่ามาได้ไงครับ

ข้อ 2. กำหนดให้ $arctan[\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}] = A$ จงหาค่าของ $x^2$

$\sqrt{1-x^2}$ จะเป็นจำนวนจริงเมื่อ $|x| \le 1$

ดังนั้นเราสามารถสมมติให้ $x = \pm\sqrt{\cos 2B}$ เมื่อ $-\pi/2 \le 2B \le \pi/2 \Rightarrow -\pi/4 \le B \le \pi/4$
จะได้ $1+x^2 = 2\cos B, 1-x^2 = 2\sin^2B$
ดังนั้น
$arctan[\frac{|\cos B| - |\sin B|}{|\cos B| + |\sin B|}] = A$

กรณีที่ 1. $0 \le B \le \pi/4$
$arctan[\frac{\cos B - \sin B}{\cos B + \sin B}] = A$
$arctan[\frac{1-\tan B}{1+\tan B}] = A$
$arctan(\tan(\pi/4 - B)) = A$

$(Note. arctan(tan x) = x$ เมื่อ $-\pi/2 < x < \pi/2$ ในที่นี้จะได้ว่า $\pi/4 \le \pi/4 - B \le 0$ จึงใช้ได้)

$\pi/4 - B = A \Rightarrow B = \pi/4 - A$

ดังนั้น $x^2 = \cos 2B = cos(\pi/2 - 2A) = \sin 2A$

กรณีที่ 2. $-\pi/4 \le B < 0$
$arctan[\frac{\cos B + \sin B}{\cos B - \sin B}] = A$
$arctan[\frac{1+\tan B}{1-\tan B}] = A$
$arctan(\tan(\pi/4 + B)) = A$

$(Note. arctan(tan x) = x$ เมื่อ $-\pi/2 < x < \pi/2$ ในที่นี้จะได้ว่า ... จึงใช้ได้)

$\pi/4 + B = A \Rightarrow B = -\pi/4 + A$
ดังนั้น $x^2 = \cos 2B = cos(-\pi/2 + 2A) = \sin 2A$

จะเห็นได้ว่าไม่ว่ากรณีก็ตาม จะได้ว่า $x^2 = \sin 2A$ เสมอ

จะสมมติให้ $x = \pm \sqrt{\sin 2B}$ เมื่อ $0 \le 2B \le \pi$ ก็ได้ครับ แต่ต้องแปลง $\sin 2B$ กับ $cos 2B $ เป็นฟังก์ชันแทนเจนต์

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sahaete (ข้อความที่ 143508) ข้อ 2$\quad$ กำหนดให้$ \quad arctan\left\{\, \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2} } {\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}} \right\}=A\quad $จงหาค่าของ $x^2 $