โค้งสุดท้าย TMOปีเก่าๆ
 

ขอลงcombiก่อนะครับ
1.ให้$S={1,2,...,s}$จงหาวิธีเลือกเซตย่อยที่ไม่ใช่เซตว่างสองเซตของSซึ่งไม่มีสมาชิกร่วมกัน(TMO2nd)
2.ชั้น ม.1 มีนักเรียนชาย 229 คนและนักเรียนหญิง 271 คน แบ่งเป็น 10 ห้อง ห้องละ 50 คน นักเรียนแต่ละห้องมีเลขที่ 1 ถึง 50 ครูต้องการจัดทีมวิ่งผลัดหนึ่งทีม โดยมีนักเรียนหญิง 1 คนและชาย 3 คน หรือนักเรียนหญิง 3 คนและชาย 1 คน และมีเงื่อนไขเพิ่มเติมว่านักเรียนสี่คนนี้มาจากสองห้อง ห้องละสองคนที่มีเลขที่ตรงกัน (เช่น นักเรียนเลขที่ 2 และ 15 จากห้อง ม.1/1 และ ม.1/3)
จงแสดงว่ามีวิธีตั้งทีมวิ่งผลัดเป็นจำนวนคี่(TMO4th)
3.ในวันเปิดเทอมของชั้น ม.1/1 มีนักเรียนเข้าใหม่ 50 คนที่ยังไม่มีใครรู้จักกันเลย ในเช้าวันนั้น ครูจัดให้นักเรียนทั้งหมดยืนเรียงแถวหน้ากระดาน และอนุญาตให้นักเรียนได้ทำความรู้จักกับเพื่อนที่ยืนติดกันเท่านั้น ในบ่ายวันเดียวกัน ครูจัดให้นักเรียนทุกคนยืนแถวตอนเรียงหนึ่ง และต้องการให้นักเรียนแต่ละคนมีเพื่อนที่รู้จักกันจากช่วงเช้าอยู่ด้านหน้า (ไม่จำเป็นต้องยืนติดกัน) อย่างน้อยคนหนึ่งเสมอ ครูมีวิธีการจัดแถวในตอนบ่ายได้ทั้งหมดกี่วิธี(TMO2nd)
4.ม.1/1มีนร.28คน. ครูจัดนักเรียนดป็น4กลุ่มๆละ7คนโดยกำหนดเลขที่1-7ให้เด็กแต่ละกลุ่ม จงแสดงว่าไม่ว่าครูจะจัดกลุ่มอย่างไรก็ตาม
จะมีนร.จาก2กลุ่มๆละ2คนที่มีเลขที่ตรงกัน และทั้ง4คนเป็นเพศเดียวกัน(TMO 3rd)

คอมบิอีกข้อตามรูปครับ
และ5.ครูจัดแถวนักเรียนม.3/1ซึ่งประกอบด้วยนร.ชายmคนและหญิงnคน ให้ยืนเรียงแถวหน้ากระดานโดยให้เพศเดียวกันที่ยืนติดกันจับมือกันไว้
จะไม่จับมือกีบเด็กต่างเพศ จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจำนวรการจับมือ เมื่อพิจารณาวิธีจัดแถวที่เป็นไปได้ทั้งหมด(TMO5th)

ข้อ 1. อ่านโจทย์แล้ว งงๆ ถ้าเข้าใจถูก สมาชิกแต่ละตัวเลือกได้ 3 ทางคือ ไม่อยู่ทั้งสองเซต หรือเซตไหนเซตหนึ่งเลยได้ $3^s$

1.ลบกรณีเป็นเซตว่าง ,เและหารด้วย 2 (2 เซตสลับที่กันได้) ตอบ $\dfrac{3^n-2\cdot 2^n+1}{2}$
2.พิจารณาถ้า 4 คนดังกล่าวจะสอดคล้องกับเงื่อนไข ก็ต่อเมื่อ จับคู่คนที่อยู่ห้องเดียวกัน มีคู่หนึ่งเพศเดียวกัน อีกคู่เพศต่างกัน แล้วก็ไปพิจารณาจำนวนคู่ที่เพศเดียวกันในแต่ละห้อง หลายๆรอบ
3. 0 วิธี เพราะคนที่อยู่หน้าสุดของตอนบ่ายไม่สามารถมีเพื่อนอยู่ข้างหน้า
4. พิสูจน์ว่า จำนวนคู่ ชาย-ชาย หญิง-หญิง ในแต่ละเลขที่รวมกันต้องมากกว่าเท่ากับ 2

Attachment 14004
คล้ายๆข้อ 4 ทำเป็นตารางระบาย 3 สี พิจารณาจำนวนคู่
Attachment 14005
แสดงว่าถ้าจับคู่ทุก 2 คน แล้วเทียบลำดับ จะมี 150 คู่ที่เรียงผิด

5. double counting