ความเเตกต่างระหว่าง arc กับ อินเวอร์สคะ ( ถ้ารู้รบกวนช่วยอธิบายด้วยนะคะ^^ ขอบคุณคะ)
 

คือว่าตอนไปเรียนวิชาฟิสิกส์หน่ะคะ อาจารย์เค้าพูดว่า arctan กับ tan^-1 คล้ายๆกัน เเต่มันมีความเเตกต่างในการใช้ต่างกัน พอจะมีใครทราบรึเปล่าคะ ว่าต่างกันยังไง:confused:

ขอบคุณมากนะคะ^^:please:

ถ้า $arctan(x)$ กับ $tan^{-1}(x)$ ที่หมายถึง inverse นั้นไม่คล้ายนะครับ แต่ตัวเดียวกันเลย แค่เขียนกันคนละแบบ
แต่ถ้าหมายถึง $tan(x)$ ไปยกกำลัง -1 นั่นก็ไม่คล้ายอีกอะครับ เป็นคนละตัวกันไปเลย

เหตุผลที่ อินเวอร์ของtanต้องเขียนว่า arctan Aเพราะ กราฟตรีโกณเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่ง แต่อินเวอร์ของมันจะไม่เป็นฟังก์ชันดังนั้นเขาจึงไม่เขียน tan-1A แต่ถ้าจะเขียน tan-1Aได้ก็ต้องกำหนดช่วงให้อยู่ในช่วง -90 ถึง 90 เป็นต้น แต่ที่ถูกจริงๆต้องเขียน arctan A นะครับ

ส่วน (tan A)^-1 = 1/tanA ไม่ใช่อินเวอร์สนะครับ คนละตัวกับ tan-1 Aนะครับ

ก่อนที่จะมีบางคนสับสนไปนะครับ :)

ตัว $\arctan x$ กับ $\tan^{-1}x$ อันนี้เป็นตัวเดียวกันครับ

ไม่ได้มีข้อห้ามว่าจะต้องใช้ตัวไหน แล้วแต่ความชอบครับ :happy:

ตัว $\arctan x$ มาจากคำว่า arc ที่แปลว่า ส่วนโค้ง

ซึ่งส่วนโค้งในที่นี้หมายถึงมุมที่รองรับที่จุดศูนย์กลางกับ (ในหน่วยเรเดียน) ความยาวส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) มันเท่ากันพอดีครับ นี่คือที่มาของการใช้ arc

แต่ $\tan^{-1}x$ อันนี้มีที่มาจากการเขียนเลียนแบบ $f^{-1}(x)$ ซึ่งแทนฟังก์ชันผกผันของ $f(x)$ ครับ.

เพิ่มเติมนะครับ หลายคนเข้าใจผิด ก่อนอื่นต้องทบทวนนิยามของฟังก์ชันก่อน
ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่ไม่มีสมาชิกตัวหน้าของสองคู่อันดับใดๆเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน
นี้เลยเป็นสาเหตุให้เรียกว่าฟังก์ชันตรีโกณได้

ต่อมาอินเวอร์สฟังก์ชันหรือที่เขียนว่า (f^-1) จะเป็นฟังก์ชันได้แสดงว่าฟังก์ชันนั้นต้องเป็นฟังก์ชัน 1-1 ถึงจะมีอินเวอร์สได้ แต่ฟังก์ชันตรีโกณไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1 ทำให้อินเวอร์สของตรีโกณจึงไม่ใช่ฟังก์ชัน เราจึงเขียนแบบกำลัง-1 บนตัวฟังก์ชันไม่ได้ แต่ถ้าจะหาอินเวอร์สฟังก์ชันตรีโกณเราจึงต้องกำหนดโดเมนด์ใหม่เพื่อฟังก์ชันตรีโกณหาอินเวอร์สได้
นักคณิตศาสตร์เลยใช้ arcsin, arcos, arctan,... แทน sin^-1 cos^-1 tan^-1 เพราะเขาถือว่า sin cos tan เป็นฟังก์ชันไม่งั้นมันจะขัดนิยามกันเอง แต่ก็มีหลายคนที่ลืมนิยามนี้แล้วเอาไปเขียนเพื่อความง่ายแล้วใช้ผิดๆต่อๆมาจนทุกวันนี้กลายเป็นว่า arcsin A = sin^-1 A

ผมตอบ จขกท.ว่าเหมือนกันทั้งในคณิตและฟิสิกส์เลยครับ ลองกลับไปถามอาจารย์ดูครับ

ปล.ถ้าอยากลองคิดดูเองว่าต่างกันยังไง ลองเริ่มจากสมการ SHM ก่อน $y=A\sin\omega t$
แล้วดูว่า $\omega t=\sin^{-1}\frac{y}{A}$ ต่างจากการนิยามฟังก์ชันผกผันในทางคณิตศาสตร์ยังไง (เปรียบเทียบคณิตกับฟิสิกส์)

ส่วน ความคิดเห็นที่ 5,8
ผมแย้งว่าไม่ผิดนะครับ ความคิดเห็นที่ 4 กับ ความคิดเห็นที่ 7 อธิบายไว้ชัดเจนแล้ว
(โดยเฉพาะความคิดเห็นที่ 7 อธิบายที่มาของ arc ชัดเจนที่สุดแล้ว)

ตอบความเห็นที่ 9 นิยามของอินเวอร์สฟังก์ชันผมก็บอกไว้แล้วนะครับ ว่าการที่จะเรียกว่าอินเวอร์สฟังก์ชันได้นั้นฟังก์ชันนั้นจะต้องเป็น ฟังก์ชันแบบ 1-1 แต่ตรีโกณเป็นฟังก์ชันแต่ไม่เป็นแบบ 1-1 ดังนั้นอินเวอร์ของมันจึงไม่เป็นฟังก์ชันนะครับ นักคณิตศาสตร์เลยตั้งชื่อใหม่เพื่อไม่ให้ขัดกับนิยาม แต่คนบางกลุ่มก็ใช้ผิดจนกลายว่าเป็นที่ยอมรับไปแล้วครับ แต่ถ้าเอานิยามมาดูจริงๆมันใช้ไม่ได้นะครับ อย่าว่าแต่ฟิสิกส์เลยครับ คณิตศาสตร์เองก็ยังใช้กันเลยครับ ส่วนว่าทำไมถึงเขียนsin-1 เนี่ยผมเดาว่าอาจเป็นเพราะความสะดวกในการเขียนเพื่อสื่อสารให้เข้าใจว่ามันเป็นอินเวอร์สของฟังก์ชัน sin แต่ที่ถูกควรจะต้องใช้arcsinเพื่อบ่งบอกให้รู้ arcsinเป็นอินเวอร์ของฟังก์ชันsinแต่มีเงื่อนไขแค่ช่วง -90 ถึง 90 เท่านั้น เพราะเรานิยามแล้วว่า sin เป็นฟังก์ชัน นั้นหมายความว่าถ้าเขียน sin-1 ก็แสดงว่า sin-1เป็นอินเวอร์สฟังก์ชันหรือฟังก์ชันผกผัน แต่จริงๆแล้วมันไม่ใช่ทั้งอินเวอร์สฟังก์ชัน มันจะจริงแค่เป็นช่วงๆเท่านั้น ซึ่งมันจะต่างกับความสัมพันธ์นะครับ
แต่ปัจจุบันเหมือนก็ใช้กันจนชินตาแล้วว่าsin-1=arcsin แต่ผมอยากอธิบายให้เข้าใจด้วยนิยามครับ

ต้องบอกก่อนว่าผมอ่านไม่ค่อยเข้าใจนะครับ ถ้าเข้าใจผิดตรงไหนก็ช่วยแก้ไขด้วย เพราะ
1. คือประโยคที่ว่า "แต่อินเวอร์ของมันจะไม่เป็นฟังก์ชันดังนั้นเขาจึงไม่เขียน tan-1A"
ตามที่ผมเข้าใจแล้ว ไม่มี inverse function ตัวไหนที่ไม่เป็นฟังก์ชันนะครับ
2. นิยาม inverse function จริงๆไม่ใช่แค่ 1-1 ต้อง onto ด้วยครับ
ดังนั้น เพื่อสร้าง inverse ของ trigonometric ฟังก์ชัน จึงต้องจำกัด domain ของมันเพื่อให้ตอน map กลับจาก codomain เกิดได้ค่าเดียวเท่านั้น และเรียก range ของ inverse ที่เท่ากับ domain ที่จำกัดมานี้ว่า principle value เช่นของ inverse tan มี range อยู่ในช่วง $[-\pi /2,\pi /2]$
ดังนั้นที่บอกว่า การเขียนแบบ $tan^-1(x), sin^-1(x)$ แต่ให้มีหลายค่าได้สำหรับ x หนึ่งๆ ก็ไม่เรียกว่า ฟังก์ชันอยู่แล้วครับ
3. สรุปว่าไม่ว่าจะเขียน $tan^-1,arctan,sin^-1,arcsin$ ทุกตัวล้วนเป็นฟังก์ชัน 1-1 ครับ นิยามบนช่วง principle value ทั้งสิ้น ผมไม่เคยเห็นนิยามที่ไหนบอกว่า เขียนแบบ $tan^-1,sin^-1,...$ แล้วจะเป็นอินเวอร์สที่ไม่ใช่ฟังก์ชัน (ถ้ามีกรุณาบอกแหล่ที่มาด้วยครับ ผมก็อยากรู้เหมือนกันว่านักคณิตศาสตร์?คนไหนเขียนหรือแต่งหนังสือเล่มนั้น แล้วจงใจนิยามแบบนั้นไปเพื่ออะไร)
สาเหตุเดียวที่ชัดเจนว่า ทำไมต้องมีการเขียนแบบ arc ขึ้นมาก็เพราะว่า การเขียนแบบ $tan^-1,sin^-1,...$ มันคล้ายกับยกกำลัง -1 เลยอาจทำให้คนอ่านสับสนได้ ก็มีเพียงเท่านี้ละครับ ไม่เกี่ยวกับ การที่ $tan^-1,sin^-1,...$ ill-defined เลย เพราะไม่มีเหตุผลใดๆที่นักคณิตศาสตร์ต้องไปนิยามให้ $tan^-1,sin^-1,...$ ไม่ใช่ inverse ครับ (จะนิยามทั้งที่ จะนิยามให้มันเสียหายไปเพื่ออะไร ผมไม่ทราบจริงๆ)

ปล. สำหรับคนอื่นที่สนใจดูค่า principle value ไปดูได้ตรง http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse...incipal_values