เนื่องจากผลคูณของจำนวนกำลังสามสมบูรณ์ 2 จำนวน เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์
ดังนั้น $(n+3)(n^2+3) = (n+1)^3 + 8$ เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์

1. กรณี $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ 0,
จาก $(n+1)^3 + 8 < (n+3)^3$
ดังนั้น $(n+1)^3 + 8 = (n+2)^3$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ $n+1$ และ $n+2$, มีภาวะคู่คี่ต่างกัน

2. กรณี $n = -1$ ลองแทนค่าในโจทย์แล้ว ไม่เป็นจริง

3. กรณี n เป็นจำนวนเต็มลบ,
จาก $(n+1)^3 + 8 > (n-1)^3$
ดังนั้น $(n+1)^3 + 8 = n^3$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะ $n+1$ และ $n$, มีภาวะคู่คี่ต่างกัน

สรุปว่า ไม่มีจำนวนเต็ม $n$ ใดที่ทั้ง $n+3$ และ $n^2+3$ เป็นจำนวนกำลังสามสมบูรณ์