บทขยายของทบ.ผลคูณ
 

ให้ $a \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ และ $p \in \mathbb{Z}$ ซึ่ง $\gcd(p,i)=1, \forall i=1,2,...,n$
(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $p=\pm 1$ หรือ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $n$)
จะได้ว่า
$$n! \mid (a)(a+p)...(a+(n-1)p)$$

ไม่ยากนะครับ แต่นำไปอ้างได้ดี :great:

พิสูจน์
พิจารณาสมการเชิงสมภาค $px \equiv 1 \pmod{n!}$ ซึ่งจาก $\gcd(n!,p)=1$ ดังนั้น สมการดังกล่าวมีผลเฉลย
ให้ผลเฉลยดังกล่าวตัวหนึ่งเป็น $x_{0}$ จะได้ว่า $px_{0} \equiv 1 \pmod{n!}$ ดังนั้น $\gcd(n! , x_{0})=1$
ซึ่งจาก $n! \mid (ax_{0})(ax_{0}+1)...(ax_{0}+n-1)$
ฉะนั้น $n! \mid (ax_{0})(ax_{0}+px_{0})...(ax_{0}+(n-1)px_{0})$
ดังนั้น $n! \mid x_{0}^{n}(a)(a+p)...(a+(n-1)p)$ ซึ่งจาก $\gcd(n! , x_{0})=1$ ทำให้ $\gcd(n! , x_{0}^{n})=1$
ดังนั้น $n! \mid (a)(a+p)...(a+(n-1)p)$ ตามต้องการ

ช่วยยกตัวอย่างโจทย์ที่นำ ทบ.นี้ไปใช้หน่อยครับ
ปล.จะได้เข้าใจอิอิ

ครับ ยินดีครับ :)
(Chinese Team Selection Test 2008, Quiz 6)
(หมายเหตุ : เนื่องจาก ข้อสอบนี้ได้เผยแพร่ใน mathlinks.ro แล้ว ผมจะใช้ liberty ในการโพสที่นี่นะครับ)
จงพิสูจน์ว่า ทุก $n \geq 2$ จะมีพหุนามดีกรี $n$, $f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n}$ ซึ่ง
(1) $a_{i} \not= 0, \forall i=1,2,...,n$;
(2) $f(x)$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบไปเป็นผลคูณของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และมีดีกรีเป็นบวกได้;
(3) ทุก $x \in \mathbb{Z}$, $\mid f(x) \mid$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ขอบคุณนะครับ แต่ขอแบบง่ายๆธรรมดาได้ไหมครับอิอิ
พอดีไม่ค่อยจะชอบทฤษฎีจำนวนอ่ะครับ

:mellow: งั้นเอาแบบใช้ตรงๆเลยนะครับ
สำหรับ $p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า 2009 จงแสดงว่า
$$2009! \mid (p^{2}-q^{2})(p^{2}-4q^{2})(p^{2}-9q^{2})...(p^{2}-1004^{2}q^{2})$$
:kaka:

ขอบคุณครับ

ใช้ residue ทุกข้อรึเปล่าครับ

ทำไงครับ:please::please::please:

#9
แยกแต่ละประกอบแต่ละวงเล็บทางขวามือ แล้วเรียงจากมากไปน้อย(หรือน้อยไปมาก) ก่อนใช้บทขยายด้านบนครับ