อยากทราบวิธีแตก อนุกรม แมคคลอเรล และบทพิสูจน์
 

อยากทราบวิธีแตก อนุกรม แมคคลอเรล และบทพิสูจน์ :confused:

ต้องบอกก่อนนะครับว่า อนุกรมแมคคลอรินจะไม่มีทฤษฏีสำหรับพิสูจน์ เพราะคนที่คิดอนุกรมนี้เขาแค่เปลี่ยน c (แทนจำนวนใด ๆ) ในอนุกรมเทเลอร์เป็น 0เท่านั้น เพราะฉะนั้นจะมีแต่ทฤษฎีอนุกรมเทเลอร์เท่านั้นซึ่งจะมีอยู่ 2 ทฤษฎีเท่านั้น(ตามที่ผมเรียนมานะ)คงต้องไปอ่านเอาเอง เพราะการพิสูจน์ของเทเลอร์จะมีการพิสูจน์โดยการแยกกรณีด้วย ก็เลยยาวเอามาก ๆ

ส่วนวิธีแตกอนุกรมที่ว่านั้น หมายความว่าจะให้กระจายอนุกรมนี้หรือเปล่า ถ้าใช่ก็ขอแปลงเลยแล้วกัน
SUM(f(n)(0)/n!)*x^n (n = 0 to infinity)= (f'(0)/0!)*x^0+f''(0)/1!)*x^1+f'''(0)/2!)*x^2+f''''(0)/3!)*x^3+...
[f(n) แทน อนุพันธ์อันดับที่ n]
หวังว่าผมคงเข้าใจที่คุณบอก ถ้าเกิดผมเข้าใจผิดยังไงก็ช่วยบอกด้วยแล้วกัน :D

[ 04 พฤษภาคม 2001: ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้วจากคุณ: NEWTON ]

พิสูจน์ไม่ยากหรอกครับ ก็เริ่มต้น สมมติให้

f(x) = g(0) + g(1)x + g(2)x^2 + g(3)x^3 + g(4)x^4 + ...

จะได้ว่า

f'(x) = g(1) + 2g(2)x + 3g(3)x^2 + 4g(4)x^3 + ...
f''(x) = 2g(2) + 6g(3)x + 12g(4)x^2 + ...
f'''(x) = 6g(3) + 24g(4)x + ...
...

เมื่อแทนค่าให้ x = 0 จะได้ว่า

f(0) = g(0)
f'(0) = g(1)
f''(0) = 2g(2)
f'''(0) = 6g(3)
...
f(n)(0) = n!g(n)
หมายเหตุ : f(n)(0) หมายถึง อนุพันธ์อันดับที่ n ของ f(x) เมื่อ x = 0

จากการแทนค่าเสร็จแล้ว สามารถย้ายข้างหา g(n) ได้ ดังนี้

g(0) = f(0)
g(1) = f'(0)
g(2) = f''(0) / 2
g(3) = f'''(0) / 6
...
g(n) = f(n)(0) / (n!)

นำค่า g(n) ที่ได้มาแทนในสมการ f(x) อันแรกเลย จะได้

f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)(x^2)/(2!) + f'''(0)(x^3)/(3!) + ...

ถ้าจะเอามาทำเป็น Taylor's Series ก็ให้ h(x) = f(x + a) แล้วคิดแบบนี้แหละ