โจทย์เกี่ยวกับ calculus
 

โจทย์ 5-6 ข้อที่ผมโพสต์ไปเมื่อเร็วๆนี้เป็นโจทย์เกี่ยวกับ
algebra ทั้งหมดแล้วก็เป็นโจทย์ประเภทใช้การคำนวณ
ทั้งหมดด้วย คราวนี้ลองมาดูโจทย์ analysis กันสักข้อซึ่ง
คงเป็นโจทย์ข้อสุดท้ายของผมในปีนี้แล้ว โจทย์ข้อนี้ไม่เกี่ยว
กับ calculation จึงมีลักษณะคล้ายคลึงกับโจทย์ L'Hospital's Rule
ที่ผมโพสต์เมื่อนานมาแล้ว แต่คิดว่ายากกว่านะครับ โม้มาก็
มากมาเริ่มกันเลยดีกว่า :)

โดย intuition (แปลไม่ถูกเหมือนกันคำนี้...โทษทีนะครับ)
แล้วความหมายของประโยคที่ว่า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องใน
ช่วงปิด [a, b] ก็คือเราสามารถลากเส้นกราฟของ f จากจุด
(a, f(a)) ไปยังจุด (b, f(b)) ได้โดยไม่ต้องยกมือเลย
แต่จริงๆแล้วความหมายนี้ยังไม่ถูกต้องเสียทีเดียว อยากให้
ชาว Mathcenter มาช่วยกันหาตัวอย่างฟังก์ชันต่อเนื่อง
ในช่วงปิด [a, b] (a, b ฮ R และ b > a)
ที่เราไม่สามารถลากเส้นกราฟของ f จากจุด (a, f(a))
ไปยังจุด (b, f(b)) ได้โดยไม่ต้องยกมือ

ยังไม่เฉลยหรอก...เพราะยังไม่มีใครขอ :D
แต่ว่ามีโจทย์ไม่ยากแนว calculation มาให้ทำอีกข้อครับ
ให้พิสูจน์ว่า d²x/dy² = -(d²y/dx²)/(dy/dx)³
ถ้าทำได้แล้วก็ให้ลองหา d³x/dy³ ในเทอมของ d³y/dx³, d²y/dx² และ dy/dx ดูนะครับ

ปัญหาแรก จะถือว่า f(x) = 1/x ต่อเนื่องบนโดเมน [-1, 1] หรือเปล่า? ถ้าใช่ ก็ใช่
แต่ถ้าไม่ใช่ ก็ต้องขอให้คุณ warut ช่วยชี้แนะด้วย

dx/dy = 1/(dy/dx)
d²x/dy² = - [d(dy/dx)/dx (dy/dx)^-2]/(dy/dx) = - d²y/dx² / (dy/dx)³

d³x/dy³ = [3(y'')² - y'y'''] / (y')⁷

มามั่วด้วยคน :D
f(x) = x เมื่อ x เป็นจำนวนตรรกยะ , = 0 เมื่อ x เป็นจำนวนอตรรกยะ

ตัวอย่างของคุณ <-*-> ใช้ไม่ได้ครับ เพราะ f ไม่ต่อเนื่องที่ x = 0
เนื่องจาก f(0) ไม่นิยาม แต่ถึงเราจะนิยาม f(0) ให้เป็นกรณี
พิเศษก็ยังไม่ได้อยู่ดีเพราะ lim_xฎ01/x หาค่าไม่ได้

ตัวอย่างของคุณ TOP ก็ใช้ไม่ได้ครับ แต่เล่นเอาผมงงไป
เหมือนกัน ตอนแรกนึกว่ามันไม่ต่อเนื่องที่จุดใดเลย คิดไปคิด
มาถึงสังเกตได้ว่ามันต่อเนื่องที่ x = 0 อยู่จุดนึง คนอื่นๆก็น่า
ลองศึกษาความต่อเนื่องของฟังก์ชันนี้ดูนะครับ ผมว่าน่าสนใจ
มาก

ทีนี้ก็มาถึงเฉลยซักที ตัวอย่างของผมก็คือ
f(x) = x*sin(1/x) ถ้า x น 0 และ f(x) = 0 ถ้า x = 0
ถ้า x น 0 จะเห็นว่า f(x) ต่อเนื่องแน่นอนเพราะ
x, 1/x และ sin(x) ล้วนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเมื่อ x น 0
ส่วนการพิสูจน์ความต่อเนื่องที่ x = 0 คงต้องออกแรงกัน
หน่อย ผมละไว้ให้คนอื่นมาทำละกัน :D
ถ้าเราลองเขียนกราฟของ f จะเห็นว่าเราไม่สามารถลากเส้น
กราฟผ่านจุด (0,0) ได้ รูปกราฟคร่าวๆของ f ในช่วง
[-0.1, -0.01] ศ {0} ศ [0.01, 0.1] เป็นดังนี้ครับ
.

ผมขอเฉลยข้อ 2 อีกครั้งอย่างละเอียดนะครับ เผื่อว่าบางคนยังไม่เข้าใจ
d²x/dy² = d(dx/dy)/dy = d(dx/dy)/dx*dx/dy (โดย chain rule)
= d((dy/dx)^-1)/dx*(dy/dx)^-1
= -1*(dy/dx)^-2*d(dy/dx)/dx*(dy/dx)^-1
= -d²y/dx²/(dy/dx)³

ส่วน d³x/dy³ นี่รู้สึกว่าคำตอบของคุณ <-*-> จะพลาดไปหน่อยนึง
ที่ถูกน่าจะเป็น (3(y'')² - y'y''')/(y')⁵ มากกว่านะครับ

ขอบคุณคุณ warut ที่ช่วยแก้ให้อีกครั้ง
จริงๆ แล้ว ผมเห็นตัวเลขที่พิมพ์ผิดแล้วนะ ว่าจะแก้ แล้วก็ลืมไปเลย

สำหรับ f(x) = x sin(1/x) (และเท่ากับ 0 เมื่อ x=0) เนี่ย พิสูจน์ได้อย่างไรว่าเราต้องยกปากกา?

ฟังก์ชันของคุณ warut ผมว่ามันก็ต่อเนื่องนะ แต่ที่ทำให้ดูเหมือนว่า ไม่สามารถลากเส้นกราฟข้ามจุด (0,0) ไปได้ น่าจะเป็นเพราะดูเหมือนว่า ระยะทางในการลากข้ามจุด (0,0) เป็น ฅ

แล้วฟังก์ชันของผมมันไม่ต่อเนื่องที่จุดไหนหรือ ใช้วิธีไหนตรวจสอบ :)

ระยะทางเ็ป็นอนันต์ แต่ก็ต่อเนื่อง ก็ยังไม่จำเป็นว่าต้องยกปากกานี่นา??

สำหรับฟังก์ชันของคุณ top
จะแสดงว่า lim f(x) ไม่มีเมื่อ x > 0 ก่อน
สมมติว่ามี lim(x->a) f(x) = b เมื่อ a > 0
แน่นอนว่า b >= 0
ถ้า b = 0 เลือก epsilon = a/2 จะเลือก delta ไม่ได้
เพราะมีตรรกยะ x ในช่วง |x - a| < a/2 ที่ขัดแย้ง
ถ้า b > 0 เลือก epsilon = b/2 จะเลือก delta ไม่ได้
เพราะมีอตรรกยะ x ที่ขัดแย้งเสมอ

ยกเว้น lim (x->0) f(x) = 0 จึงต่อเนื่องที่ x = 0

พิสูจน์ไม่ได้หรอกครับเพราะคำตอบมัน subjective จริงๆ
แนวคิดที่ว่า "เราสามารถลากเส้นกราฟได้โดยไม่ต้องยกมือ
เลย" มันก็ไม่ rigorous อยู่แล้ว แต่ว่าตัวอย่างนี้ผมไม่ใช่คน
make ขึ้นมาเองนะ และผมก็ไม่ใช่คนเดียวที่คิดว่ากราฟอันนี้
มันเขียนไม่ได้ ที่ผมคิดว่ากราฟอันนี้มันเขียนไม่ได้ไม่ใช่เพราะ
ระยะทางเป็นอนันต์นะครับ (จริงๆแล้วเป็นอนันต์รึเปล่าผมก็
ไม่รู้) แต่ผมเห็นว่าจำนวนครั้งที่ขึ้นลงของกราฟในช่วงจำกัด
มีเป็นอนันต์ก็เลยเขียนไม่ได้ แน่นอนเนื่องจากมันเป็นคำถามที่
subjective ก็ย่อมจะต้องมีคนที่มีความเห็นแตกต่างกันออก
ไปเป็นธรรมดา :)