ถอดrootก่อน มาบวกกัน กับบวกกันแล้วค่อยถอดroot
จำนวนนับใดๆ ถ้าเราถอด root ก่อน แล้วเอามาบวกกัน
กับเอามาบวกกันก่อน แล้วค่อยถอด root คุณว่าอันไหนจะมากกว่ากัน เช่นถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนนับแล้ว $\sqrt{a} $ + $\sqrt{b} $ + $\sqrt{c} $ + $\sqrt{d} $ กับ $\sqrt{a + b + c + d} $ อันไหนจะมากกว่ากัน แล้วถ้าเป็น $\sqrt[3]{a} $ + $\sqrt[3]{b} $ + $\sqrt[3]{c} $ + $\sqrt[3]{d} $ กับ $\sqrt[3]{a + b + c + d} $ จะยังเป็นความจริงแบบข้างต้นไหม สุดท้าย ถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนจริง (แทนที่จะเป็นจำนวนนับ) คำตอบจะยังเหมือนเดิมไหม หมายเหตุ เพิ่งแว๊บความคิดขึ้นมา ยังไม่ได้หาคำตอบ :haha: ช่วยกันหาคำตอบ ถ้าใช้ความรู้ระดับ ม.ต้น ได้ก็ดี :D |
สำหรับในรูท แยกเดี่ยวมากกว่าหรือเท่ากับพวกรวมกลุ่ม เมื่อกำหนดว่าเป็นจำนวนนับ
แต่ถ้าไม่กำหนดอะไรเลย สรุปไม่ได้เด็ดขาด |
ถ้าเป็นจำนวนนับ ถอดก่อนจะมากกว่าหรือเท่ากับบวกก่อน แต่ถ้าเป็นจำนวนจริงก็ไม่แน่ครับ
|
อ้างอิง:
$x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+...+x_ny_n\leqslant \sqrt{x^2_1+x^2_2+..+x^2_n}\sqrt{y^2_1+y^2_2+...+y^2_n}$ ดังนั้น $\sqrt{a}(1)+\sqrt{b}(1)+\sqrt{c}(1)+\sqrt{d}(1)\leqslant \sqrt{1+1+1+1}\sqrt{a+b+c+d} $ $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$ นั่นคือยังมิอาจสรุปได้ว่า $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$ หรือ $\sqrt{a+b+c+d}$ ว่าค่าใดมากกว่ากัน ในกรณีนี้ Fix!! ไว้แล้ว ว่า a,b,c,d เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ |
อ้างอิง:
ขอบคุณครับ ผมลองแทนค่าจำนวนนับ(จำนวนเต็มบวก)ในสมการสุดท้ายนะครับ $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\geqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$ $\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}\geqslant 2\sqrt{1+2+3+4}$ $1+1.4142+1.7321+2\geqslant 2\sqrt{10}$ $6.1463 \geqslant 2\times 3.16227766$ $6.1463 \geqslant 6.32455532$ |
ขออภัยใส่เครื่องหมายผิดครับ
|
อ้างอิง:
ขอบคุณครับ แต่ยังค้างคาใจอสมการนี้ ครับ $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}\leqslant 2\sqrt{a+b+c+d}$ ถ้าจำนวนนับเป็นตัวเดียว(ไม่ใช่หลายๆตัวบวกกัน) $\sqrt{1}\leqslant 2\sqrt{1}$ $\sqrt{2}\leqslant 2\sqrt{2}$ . . . จำนวนนับ 2 ตัว $\sqrt{1}+\sqrt{2}\leqslant 2\sqrt{1+2}$ . . . ผมยังหาจำนวนนับ ไม่ว่าตัวเดียวหรือหลายตัวบวกกัน ที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง (เท่ากันทั้งสองข้าง) ($\leqslant $ แปลว่าเท่ากับหรือน้อยกว่า) |
อ้างอิง:
เราก็จะได้ว่า $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3}+...+\sqrt{x_n}\leqslant \sqrt{n}\sqrt{x_1+x_2+x_3+...+x_n}$ ครับ ได้ว่า $\sqrt{x_1}\leqslant 1\sqrt{x_1}$ $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\leqslant \sqrt{2}\sqrt{x_1+x_2}$ $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}+\sqrt{x_3} \sqrt{3}\sqrt{x_1+x_2+x_3}$.... อ่ะครับ |
ไปsearch คำว่า Cauchy–Schwarz inequality แล้วเมาออกมา :haha:
มันเกินความรู้ ม. ต้นไปแยะ :D |
อ้างอิง:
$\sqrt[n]{x_1}+\sqrt[n]{x_2}+\cdots +\sqrt[n]{x_k}\geq \sqrt[n]{x_1+x_2+\cdots + x_k}$ พิสูจน์ได้ง่ายมาก ลองยกกำลัง $n$ ทั้งสองข้างดูสิครับ แต่ิอาจจะใช้ความรู้เกินม.ต้นนิดหน่อย ตรงที่ต้องใช้ Multinomial Theorem หลังจากยกกำลัง $n$ แล้วจะได้ $x_1+x_2+\cdots + x_k + Y\geq x_1+x_2+\cdots +x_k$ เมื่อ $Y$ เป็นก้อนยุ่งๆก้อนหนึ่ง แต่โดยรวมแล้ว $Y\geq 0$ ดังนั้นอสมการจริงครับ:) |
อ้างอิง:
ขอบคุณครับ แบบนี้พอเข้าใจครับ (แม้ยังไม่เข้าใจMultinomial Theorem) อ้างอิง:
โดยสรุปได้ว่า $\sqrt[n]{a} $ + $\sqrt[n]{b} $ + $\sqrt[n]{c} $ + $\sqrt[n]{d} + .....\sqrt[n]{z} \geqslant \sqrt[n]{a + b + c + d +.......z} $ สำหรับทุกค่าที่ n เป็นจำนวนนับ และ a b c d ....z เป็นจำนวนจริงบวก |
โคชี คือ อะไรครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 09:09 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha