|
สอวน. ศูนย์สวนกุหลาบ ค่าย 2 ปี 58 (เข้าค่าย มี.ค. 59)
อีกสามวิชาสอบพรุ่งนี้ครับ ขอเฉลยหรือ hint พีชคณิตข้อ 4 ด้วยครับ
1. รูปห้าเหลี่ยม $ABCDE$ เป็นห้าเหลี่ยมนูนใดๆ ให้ $A_1,B_1,C_1,D_1,E_1$ เป็นจุดบนด้าน $CD,DE,EA,AB,BC$ โดยที่ $AA_1,BB_1,CC_1,DD_1,EE_1$ ตัดกันที่จุด $P$ จงพิสูจน์ว่า $$\frac{AD_1}{D_1B}\frac{BE_1}{E_1C}\frac{CA_1}{A_1D}\frac{DB_1}{B_1E}\frac{EC_1}{C_1A}=1$$ (12 คะแนน) 2. สี่เหลี่ยม $ABCD$ มีวงกลมล้อมรอบ และมี $AC$ แบ่งครึ่ง $B\hat AD$ จงพิสูจน์ว่า $$AC\times BD=AD\times BC+AB\times CD$$ (Special case of Ptolemy theorem) (8 คะแนน) นิยาม ใน $\Delta ABC$ มี $A_1,A_2$ อยู่บนด้าน $BC$ จะเรียก $AA_1$ ว่าเป็น isotomic line ของ $AA_2$ ก็ต่อเมื่อ $A_1,A_2$ ห่างจากจุดกึ่งกลางของ $BC$ เป็นระยะทางเท่ากัน 3.1. ให้ $\Delta ABC$ มี $A_1,B_1,C_1$ เป็นจุดบนด้าน $BC,CA,AB$ ตามลำดับและให้ $AA_2,BB_2,CC_2$ เป็น isotomic line ของ $AA_1,BB_1,CC_1$ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่าถ้า $AA_1,BB_1,CC_1$ ตัดกันที่จุดเดียวแล้ว $AA_2,BB_2,CC_2$ ตัดกันที่จุดเดียว (10 คะแนน) 3.2 ให้วงกลมแนบใน $\Delta ABC$ สัมผัสด้าน $BC,CA,AB$ ที่ $A_1,B_1,C_1$ ตามลำดับ และวงกลมแนบนอกที่ตรงข้ามกับ $A,B,C$ สัมผัส $BC,CA,AB$ ที่ $A_2,B_2,C_2$ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า $AA_2,BB_2,CC_2$ เป็น isotomic line ของ $AA_1,BB_1,CC_1$ ตามลำดับ และ $AA_2,BB_2,CC_2$ ตัดกันที่จุดเดียว (เรียกว่า Nagel Point) (10 คะแนน) 4. สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัส $DEIJ, EFHG, DFML$ บน $\Delta DEF$ ต่อ $IJ$ ตัดกับส่วนต่อของ $LM$ ที่ $B$ ต่อ $GH$ ตัดส่วนต่อของ $LM$ ที่ $A$ และต่อ $IJ$ ตัดส่วนต่อของ $GH$ ที่ $C$ จงพิสูจน์ว่า $AF,BD,CE$ เป็นเส้น symmedian ของ $\Delta DEF$ และจุด lemoine ของ $\Delta ABC$ กับจุด lemoine ของ $\Delta DEF$ เป็นจุดเดียวกัน (10 คะแนน) 1. ถ้ารากรากหนึ่งของ $x^5+7x^4+10x^3-13x^2-19x-22=0$ คือ $\rm{cis}\dfrac{2\pi}{3}$ จงหารากอีก 4 ตัวที่เหลือ (10 คะแนน) 2. จงหาค่าของ $$\left(\frac{1+\sin\dfrac{\pi}{2559}+i\cos\dfrac{\pi}{2559}}{1+\sin\dfrac{\pi}{2559}-i\cos\dfrac{\pi}{2559}}\right)^{2559}$$ (12 คะแนน) 3. จงแสดงว่า $x^2+x+1\mid (x+1)^{2n+1}+x^{n+2}\quad\forall n \in\mathbb{N}$ (12 คะแนน) 4. จงแสดงว่า $$\cot^2\dfrac{\pi}{21}+\cot^2\dfrac{2\pi}{21}+\cot^2\dfrac{3\pi}{21}+...+\cot^2\dfrac{10\pi}{21}=\dfrac{190}{3}$$ (16 คะแนน) |
$sin21\theta = sin^{21}\theta (\binom{21}{1} cot^{20}\theta -\binom{21}{3} cot^{18}\theta+... )$ แล้วพิจารณารากของสมการ $sin21\theta =0$ |
solution สวยมากเลยครับคุณ กขฃคฅง
|
ของอีกวันมาถึงหรือยังครับ. :rolleyes:
|
มาเพิ่มข้อสอบครับ (ข้อละ 10 คะแนน ทั้งหมด)
1. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $$(x-2)f(y) + f(y+2f(x)) = f(x+yf(x)) \qquad ทุก \quad x,y \in \mathbb{R} $$ 2. จงหาฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{R} ^+\rightarrow \mathbb{R} ^+$ ทั้งหมด โดยที่ $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และสอดคล้องกับสมการ $$f(f(x)+2g(x)+3f(y)) = g(x)+2f(x)+3g(y)$$ $$g(f(x)+y+g(y)) = 2x-g(x)+f(y)+y$$ ทุก $x,y \in \mathbb{R} ^+$ 3. จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับสมการ $$f(x)f(y)+f(x+y) = xy \qquad ทุก \quad x,y \in \mathbb{R} $$ 4. จงหาฟังก์ชัน $f:[1,\infty )\rightarrow [1,\infty )$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้อง $\qquad (i) \quad f(x) \leqslant 2(1+x)$ ทุก $x \in [1,\infty )$ $\qquad (ii) \quad xf(x+1) = f(x)^2-1$ ทุก $x \in [1,\infty )$ 5. จงพิสูจน์ว่า ไม่มีฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} ^+\rightarrow \mathbb{R} ^+$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $$f(x)^2 \geqslant f(x+y)(f(x)+y) \qquad ทุก \quad x,y \in \mathbb{R} ^+$$ 1. จงหาจำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 10 ตัวอักษรจาก M,A,T,H,S โดยที่ มี M เป็นจำนวนคี่ตัว และมี T เป็นจำนวนคู่ตัว 2. จงพิสูจน์ว่า สำหรับจำนวนเต็มบวก 13 จำนวนที่มีค่าไม่เกิน 189 จะต้องมีสามจำนวน เรียกว่า $x,y,z$ ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ $1 < \dfrac{x}{y} \leqslant 2$ และ $1 < \dfrac{y}{z} \leqslant 2$ 3. นักเรียนคนหนึ่งแก้ปัญหาการนับได้ 32 ข้อในเวลา 8 วัน จงแสดงว่า มีช่วงเวลา 2 วันติดกันที่เขาแก้ปัญหาได้อย่างน้อย 8 ข้อ 4. ตั๋วรถเมล์เป็นเลข 8 หลักตั้งแต่ 00000000 ถึง 99999999 $\qquad$ ตั๋วเทวดา คือ ตั๋วที่มีผลบวกของเลขโดดในหลักที่ $i$ และ $i+1$ เท่ากันทุกๆ $i=1,3,5,7$ (เช่น 16075225) $\qquad$ ตั๋วนางฟ้า คือ ตั๋วที่มีผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็น 36 จงแสดงว่า มีตั๋วนางฟ้ามากกว่าตั๋วเทวดา 5. ในกล่องมีสลาก 256 ใบซึ่งเขียนสับเซตของ $\{1,2,3,...,8\}$ ใบละ 1 สับเซตซึ่งต่างกันหมด โดยแต่ละใบจะมีแต้มเท่ากับผลต่างของค่ามากสุดและค่าน้อยสุดในเซตนั้น (แต้มของเซตว่าง หรือ เซตที่มีสมาชิก 1 ตัว จะมีค่าเป็น 0) เช่น $\{1,3,6\}$ มีแต้มเท่ากับ 5 $\qquad$ ณเดชและญาญ่าผลัดกันสุ่มหยิบสลากในกล่องจนได้คนละ 128 ใบ $\qquad$ จงแสดงว่า เมื่อแต่ละคนหาผลบวกของแต้มของสลากทั้งหมดของตนแล้ว ณเดชจะได้แต้มอย่างน้อย $555$ แต้ม หรือ ญาญ่าจะได้แต้มอย่างน้อย $735$ แต้ม 1. ให้ $a,b \in \mathbb{Z} , n \in \mathbb{N} $ และ $d = (a,n)$ ซึ่ง $d\mid b$ จงแสดงว่าสมภาคเชิงเส้น $ax \equiv b \pmod{n} $ มีคำตอบอยู่ $d$ คำตอบที่ไม่สมภาคกันในมอดุโล $n$ และคำตอบเหล่านั้นคือ $$x \equiv x_0+\dfrac{n}{d}t \pmod{n} \quad เมื่อ \quad t = 0,1,2,...,d-1$$ โดยที่ $x_0$ คือคำตอบหนึ่งของสมภาค $\dfrac{a}{d} x \equiv \dfrac{b}{d} \pmod{\dfrac{n}{d} } $ 2. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่ง $p>17$ จงหาคำตอบทั้งหมดของสมภาคเชิงเส้น $$p^{32}\cdot 11x \equiv 2016 \pmod{16320} $$ 3. จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก $m$ และ $n$ ซึ่ง $(m,n) = 1$ ที่ทำให้ $$7(25\cdot 59)^m + 2\cdot 25^n \equiv 5\cdot 59^n \pmod{2559}$$ 4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาเศษที่เกิดจากการหาร $$\sum_{i = 0}^{99}(n+i)^8 + 2^{2^{2016}}+1 \quad ด้วย \quad 100$$ 5. จงหาคู่ลำดับทั้งหมดของ $(m,n)$ เมื่อ $m,n \in \mathbb{N} $ ที่สอดคล้องกับ $$m^4+n^2 \equiv 0 \pmod{7^m-3^n}$$ |
ขอ hint FE ข้อ 1,2,4,5 กับ NT ข้อ 3,5 หน่อยครับ
|
Hint FE
1. แทน $y=\dfrac{2f(x)-x}{f(x)-1}$ จะเกิดสิ่งมหัศจรรย์ อย่าลืมแยกเคส $f(x)=1$ 4. แทน $f(x)\leq 2(1+x)$ ลงในอีกสมการ จะได้ $f(x)\leq\sqrt{2}(1+x)$ ทำไปเรื่อยๆ (อุปนัย) จะได้ $f(x)\leq 1+x$ ถัดจากนั้นสมมติ $f(r)<1+r$ พิสูจน์ให้ได้ว่า $f(r+1)<r$ คอมบิข้อ 4 เห็นเพื่อนนับถึกกันเยอะมากเลยครับ แต่ผมใช้สร้างฟังก์ชัน |
For the prove of $f(x) \geq x+1$, I used Ramanujan Nested Radical
|
Idea for problem number $2$ of FE
From the problem, $f(f(x)+2g(x)+3f(y))=g(x)+2f(x)+3g(y)$ We get that $f(f(y)+2g(y)+3f(x))=g(y)+2f(y)+3g(x)$ If $f(x)+g(y) \ge g(x)+f(y) \rightarrow g(x)+2f(x)+3g(y)\ge g(y)+2f(y)+3g(x)$ Then $f(f(x)+2g(x)+3f(y)) \ge f(f(y)+2g(y)+3f(x))$ That is $f(x)+2g(x)+3f(y) \ge f(y)+2g(y)+3f(x)$ contradict with $f(x)+g(y) \ge g(x)+f(y)$ And for the case $f(x)+g(y) \le g(x)+f(y)$ , we can get contradict with similar way So $f(x)+g(y) = g(x)+f(y)$ give us $f(x)=g(x)+k$ And the rest is easy. |
$7=5(25)-2(59)$ |
Use AM-GM :rolleyes: |
Solution for #5 (Cr. Sirius)
We denote $P(x,y)$ for $f(x)^2 \geq f(x+y)(f(x)+y)$ for all $x,y \in \mathbb{R}^+$ Since $f(x+y)(f(x)+y) >f(x)f(x+y)$ From $P(x,y)$ we get $f(x) > f(x+y)$ for all $x,y \in \mathbb{R}^+$, so $f$ is strictly decreasing Then $P(x,f(x))$ give us new assertion $Q(x); \frac{f(x)}{2} \geq f(x+f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$ Since $Q(x+f(x)),Q(x)$ and $f$ is strictly decreasing give us $\frac{f(x)}{4} \geq \frac{f(x+f(x))}{2} \geq f(x+f(x)+f(x+f(x))) \geq f(x+f(x)+\frac{f(x)}{2})$ for all $x\in \mathbb{R}^+$ So we get assertion $R_1(x);\frac{f(x)}{4} \geq f(x+\frac{3}{2}f(x))$ From $R_1(x+f(x)),Q(x)$ and $f$ is strictly decreasing give us $\frac{f(x)}{8} \geq \frac{f(x+f(x))}{4} \geq f(x+f(x)+\frac{3}{2}f(x+f(x))) \geq f(x+f(x)+\frac{3}{2} \cdot \frac{f(x)}{2})=f(x+\frac{7}{4}f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$ So we get assertion $R_2(x); \frac{f(x)}{8} \geq f(x+\frac{7}{4}f(x))$ Then we can easily proved in similar way by induction on $n \in \mathbb{Z}^+$ that $R_n(x); \frac{f(x)}{2^{n+1}} \geq f(x+(2-\frac{1}{2^n})f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$ So we get that for all $n\in \mathbb{Z}^+$, we have $\frac{f(x)}{2^{n+1}} \geq f(x+(2-\frac{1}{2^n})f(x)) >f(x+2f(x))$ for all $x\in \mathbb{R}^+$ But when $n \rightarrow \infty$ we have $\frac{f(x)}{2^{n+1}} \rightarrow 0$ Contradict the existence of $f(x+2f(x)) \in \mathbb{R}^+$ P.S. Dear Amankris I believe that you have beautiful solution by A.M.-G.M., can you show it to me, plz ? |
ข้อ 5 อีกวิธีจากเว็บ imomath.com
สามารถพิสูจน์ได้ง่ายมากว่า $f$ เป็นฟังก์ชันลดโดยแท้ ตรึง $x\in\mathbb{R}$ เลือก $n\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $n\geq\dfrac{1}{f(x+1)}$ จาก $f(x)^2\geq f(x+y)(f(x)+y)$ จัดรูปเป็น $f(x)-f(x+y)\geq\dfrac{yf(x)}{f(x)+y}$ นั่นคือ $f\left(x+\dfrac kn\right)-f\left(x+\dfrac{k+1}n\right)\geq\dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)\cdot\dfrac 1n}{f\left(x+\dfrac kn\right)+\dfrac 1n}\geq \dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+1} $ จาก $n\geq\dfrac{1}{f(x+1)}$ เพราะฉะนั้น $f\left(x+\dfrac kn\right)\geq f(x+1)\geq \dfrac 1n$ นั่นคือ $1\leq f\left(x+\dfrac kn\right)$ ทำให้ $f\left(x+\dfrac kn\right)-f\left(x+\dfrac{k+1}n\right)\geq \dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+1}\geq\dfrac{f\left(x+\dfrac kn\right)}{n f\left(x+\dfrac kn\right)+n f\left(x+\dfrac kn\right)}=\dfrac{1}{2n}$ สามารถพิสูจน์ต่อเองได้ว่า $f(x)-f(x+1)\geq \dfrac 12$ ซึ่งทำให้เกิดข้อขัดแย้ง |
|
จัดรูปใหม่ได้ $f(x)-f(x+y)\ge y\cdot\dfrac{f(x+y)}{f(x)}$
ดังนั้น $\displaystyle\sum_{k=1}^n \left(f(t+\dfrac{k-1}{n})-f(t+\dfrac{k}{n})\right)\ge \dfrac{1}{n}\cdot\sum_{k=1}^n \dfrac{f(t+\dfrac{k}{n})}{f(t+\dfrac{k-1}{n})}$ ใช้ am-gm กับพจน์ทางขวา จะได้ $f(t)-f(t+1)\ge \sqrt[n]{\dfrac{f(t+1)}{f(t)}}$ แต่เนื่องจากมี $t$ ที่ทำให้ฝั่งซ้ายน้อยกว่า $1$ จึงได้ว่ามี $n$ ซึ่งใหญ่พอ ที่ทำให้อสมการเป็นเท็จ |
| เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 22:01 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha