ปริศนาจำนวนเชิงซ้อน
 

สืบเนื่องมากจากการ หาค่าของ iⁱ

ซึ่ง i = cos p/2 + i sin p/2 = e^ip/2

เพราะฉะนั้น iⁱ = (e^ip/2 )ⁱ
= e^-p/2

แต่ถ้าเรามองว่า i = cos 5p/2 + i sin 5p/2 ก็ถูกใช่ไหมครับ
ก็จะได้ i = e^ix5p/2

เพราะฉะนั้น iⁱ = (e^ix5p/2)ⁱ
= e^-5p/2

นั้นคือ iⁱ = e^-p/2 = e^-5p/2 ????

i^i = 0.2078795764 = 3.882032039x10^-4 ????

ถามโจทย์เพิ่มเติมด้วยครับ

ึ1ึ11ึ111ึ1111ึ11111ึ...

มีค่าเท่าไหร่ครับ ลองคิดดูแล้วคิดไม่ออกครับ
กับลอง search กระทู้เก่าแล้วหาไม่เจอครับ (ถ้าใครเจอช่วย ทำ link ให้ด้วยนะครับ)

แล้วก็รบกวนคุณเว็บมาสเต้อร์ ช่วยแก้ไขในส่วนข้อสอบสมาคมด้วยครับ http://www.mathcenter.net/samakom/2537/2537p04.shtml
พอดีข้อ 23 - 25 ขาดหายไปครับ

และก็การใช้โปรแกรมวินพล็อต ก็เข้าไม่ได้เช่นกันครับ http://www.mathcenter.net/computer/w...nplotp01.shtml

ขอบคุณครับ

ครับ.เดี๋ยวจะดู Link ที่เสียให้

ข้อสอบสมาคมสามารถดูได้แล้ว ขอบคุณพี่กรมากครับ

ถ้าเป็นไปได้ รบกวนพี่ช่วยแก้ปัญหา เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน กับ เรื่องของ รู๊ท อนันต์ ให้ด้วยก็ดีครับ ผมลองคิดดูแล้ว แต่คิดไม่ได้ครับ จนปัญญาจริงๆ

i ยกกำลัง i มีค่าได้หลายค่า หรืออีกนับหนึ่งอาจกล่าวได้ว่า เป็น multi-valued function ในการศึกษาบางครั้งเพื่อแก้ปัญหาดังกล่าวจำต้องจำกัดว่าจะเลือกค่าบริเวณหนึ่งมาพิจารณาเท่านั้น เช่นถ้ากำหนดว่า จะพิจารณาแค่ 0 ถึง 2pi อะไรทำนองนี้เป็นต้น หลักการก็ประมาณว่าเราเลือกโดเมนเพื่อให้ arcsin(1) มีค่าแค่ค่าเดียวอะไรทำนองนี้แหละครับ

see : http://www.mathcenter.net/sermpra/se...pra33p07.shtml
อาจจะได้คำตอบที่พอใจ
ส่วนอีกข้อนั้น เขียนความสัมพันธ์แบบ recurrence ได้ดังนี้

ลองคิดดูแล้วครับ คงไม่ได้คำตอบสวย ๆ อะไรออกมา

แวะมาเยี่ยมครับ :D

สำหรับข้อที่เป็น nested square roots ผมคิดว่าไม่มีคำตอบแบบ closed form นะครับ
ส่วน numerical solution ผมหาได้ 10.5130897652419302645...
ที่สำคัญคือเราต้องพิสูจน์ให้ได้ว่าลำดับ {a_n} นั้นลู่เข้าซึ่งก็ไม่ยากนัก
อย่างแรกให้สังเกตว่า {a_n} เป็น monotonic increasing sequence เพราะ ((10ⁿ - 1)/9)^(1/2ⁿ) ณ 1 เสมอ
ต่อไปให้สังเกตว่า a_n = a_n-1*((10ⁿ - 1)/9)^(1/2ⁿ) < a_n-1*(10ⁿ - 1)^(1/2ⁿ) < a_n-1*(10ⁿ)^(1/2ⁿ) = a_n-1*10^(n/2ⁿ)
กำหนดให้ b_n = b_n-1*10^(n/2ⁿ) โดยที่ b₁ = 1
โดย induction จะเห็นว่า a_n ฃ b_n สำหรับทุกค่า n ณ 1
เนื่องจาก {b_n} เป็น monotonic increasing sequence ที่ลู่เข้าสู่ 10^(2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ + ...) = 10^3/2
ดังนั้น {a_n} จึงเป็น monotonic increasing sequence ที่ถูก bounded above (โดย 10^3/2)
ซึ่งนั่นก็หมายความว่า {a_n} ลู่เข้า