ถามเรื่องแฟคทอเรียล กับเศษเหลือ หน่อยครับ
 

จงหาเศษจากการหาร 63! ด้วย 73

โดย Wilson's theorem ที่กล่าวว่า "จำนวนเฉพาะ $p$ ใดๆ$\ (p-1)!\equiv -1\ (mod \ p)$"

$72!\equiv -1\ (mod \ 73) $

$\Leftrightarrow(64)(65)(66)(67)(68)(69)(70)(71)(72)63! \equiv -1\ (mod \ 73)$

$\Leftrightarrow(-9)(-8)(-7)(-6)(-5)(-4)(-3)(-2)(-1)63! \equiv -1\ (mod \ 73)$

$\Leftrightarrow(-9!)(63!) \equiv -1\ (mod \ 73)$

$\Leftrightarrow(3)(63!) \equiv 72\ (mod \ 73)$

$\Leftrightarrow\boxed{63! \equiv 24\ (mod \ 73)}$
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
หมายเหตุ: รูปแบบดังกล่าวสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปได้ว่า

ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และมี $a,b \in \mathbb{N_{0}}$ ที่ทำให้ $p-1=a+b$ จะได้ว่า $a!b!\equiv (-1)^{a+1} \ (mod \ p)$ หรือ $p|a!b! + (-1)^a$

ขอบคุณมากครับ

บรรทัดที่ 3 ไป 4 ยังไงอะครับ

ไล่หาค่าที่สมมูลของฝั่งซ้ายทีละตัวครับ

$64 \equiv -9 \ (mod \ 73), \ 65 \equiv -8 \ (mod \ 73), \ ..., \ 72 \equiv -1 (mod \ 73)$

บรรทัด 5 ไป 6 ยังไงครับ

$-9! \equiv 3 \ (mod \ 73)$ และ $-1 \equiv 72 \ (mod \ 73)$

สำหรับ การหาค่าที่สมมูลของ $-9!$ ในมอดุโล $73$ ก็ไม่ยากครับ ใช้เพียงการจับคู่ก็เพียงพอครับ สังเกตว่า

$-9! \equiv -(9)(8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) \equiv -[(9)(8)][(6)(4)(3)(1)][(7)(5)(2)] \equiv -(72)(72)(70) \equiv -(-1)(-1)(-3) \equiv 3 \ (mod \ 73)$

ขอบคุณครับ