MATH PROBLEMS : BASIC [ I ] by KonRakKanid
 

MATH PROBLEMS : BASIC [ I ] by KonRakKanid
อย่างเเรกก็ขอสวัสดีพี่น้องชาว MCT ทุกคน ^^ หายหน้าหายตาไปนานเลย :] ยุ่งๆ แต่ก็แวะมาดูแทบทุกวัน
จะเปิด โครงการ รวมโจทย์ MATHS สัก 3 SERIES อันได้แก่
[ I ] BASIC
[ II ] INTERMEDIATE
[ III ] ULTIMATE

ซึ่งจะรวบรวมโจทย์น่าทำจาก หลายๆ อย่าง เช่น ข้อสอบ สมาคมฯ เข้าเตรียมอุดมฯ มหิดลวิทยานุสรณ์ รวมถึงจากเอกสารกวดวิชา (ซึ่งก็ขอบคุณเพื่อนๆ ที่ให้ยืมด้วยนะ :>)
แต่ไม่มีเฉลย [ ไม่แน่ใจฝีมือเฉลยตนเอง] มาเริ่มกันเถอะ

ร่วมด้วยช่วยกัน มาแบ่งบันSOLUTIONs ดีๆ อย่าเก็บไว้คนเดียวนะ
ระดับ I BASIC [Advance M1-M2 + Funda M3 ]
1. จงหาผลคูณของ $(x^4+81)(x^2+9)(x-3)(2x+6)$
2. จงหา $(x+1)^4-(x-2)^3$
3. ถ้า a,bเป็นจำนวนจริง ที่$(a+b)^3=5$จงหา$(2a^2+4ab+2b^2)^3$
Attachment 4321
7. จงหาว่า สามเหลี่ยมต่อไปนี้ เป็น สามเหลี่ยมใด [แหลม ป้าน ฉากหรือ ? ]
2010 2011 5532
8. ให้ p เป็นจำนวนเต็มบวก และ m เป็นผลบวกของเลขโดดทุกหลักของ p ถ้า$ m+p = 73$จงหา p
9.ถ้า ABC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ที่มี มุม B=120 และ AC=1 จงหา [ABC]
10.จงหา $I^{3A}+I^{2A} $โดย A เป็นจำนวนเต็ม
11. $จงหาผลรวมของจำนวนเต็มบวก n ทั้งหมด ที่ทำให้ n^{3}-8n^{2}+20n-13 เป็นจำนวนเฉพาะ$
12. $กำหนดให้ a^{2}+2b=7,b^{2}+4c=-7,c^{2}+6a=-14$
จงหาค่าของ $a^{3}+b^{3}+c^{3}$
13.ให้ $\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}=\frac{x-2}{(x^2)(x-1)}$ จงหา $a+b+c$
14.จงแยกตัวประกอบของ $a^4+2a^3+a^2-1$
15.ถ้า $x+(1/x)=7$แล้วจงหา $x^2+(1/x^2)$
16.จงหา $20102010^2-2(20102010)(20102000)+20102000^2$
17.จงหา x จาก
$\frac{x-a}{bc}+\frac{x-b}{ca}+\frac{x-c}{ab}=2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Attachment 4362
Attachment 4363
Attachment 4364
21.จงหา $\sqrt{57-40\sqrt{2}}-\sqrt{57+40\sqrt{2}}$
22.จงแยกตัวประกอบ $x^4-y^4+2xy(x^2-y^2)$
23.ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก
$a+b^2+2ac=16$
$b+c^2+2ab=18$
$c+a^2+2bc=22$
จงหา $(a+b+c)^2$
24.มีไข่ไม่เกิน 500 ฟองนำใส่ตะกร้าละ 2,3,4,5 หรือ 6 ฟอง เท่าๆกัน เหลือ 1 ฟองเสมอ แต่ใส่ใบละ 7 ฟอง ไม่เหลือเลย จงหาจำนวนไข่
25.กำหนดลำดับ 1,3,6,10,15,21,a,b,c,d,e,... สร้างลำดับใหม่ตามเงื่อนไขดังนี้ นำจำนวนหนึ่ง-จำนวนสอง นำจำนวนสอง-จำนวนสาม ทำไปเรื่อยๆ จงหาลำดับชุดใหม่ เริ่มจากลำดับเก่าตัวที่มีค่า 21 เป็นจำนวนแรก
[เดี๋ยวต่อนะครับ ]
ข้อ 11 และ 12 โดย คุณ Mathematicism


ใครจะเเบ่งปันโจทย์ก็เชิญเลยนะครับ ตามสบาย

ข้อแรกเลยครับ ง่ายดี
$(x^4+81)(x^2+9)(x-3)(2x+6)=2(x^4+81)(x^2+9)(x-3)(x+3)$
$=2(x^4+81)(x^2+9)(x^2-9)$
$=2(x^4+81)(x^4-81)$
$=2(x^8-6561)$
$=2x^8-13122$

ข้อ 3)
${(2a^2+4ab+2b^2)}^3={[2(a^2+2ab+b^2)]}^3$
$={[2{(a+b)}^2]}^3=8{(a+b)}^6=8{[{(a+b)}^3]}^2$
เนื่องจาก ${(a+b)}^3=5$
ดังนั้น
${(2a^2+4ab+2b^2)}^3=8(5)^2$
$=8\times25=200$

ข้อ 4)
ให้ $\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}=A$
จะได้ $A^2=6+A$
$A^2-A-6=0$
$(A-3)(A+2)=0$
$A=3$ และ
$\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6...}}}=B$
จะได้ $B^2=6B$
$B^2-6B=0$
$B(B-6)=0$
$B=6$
จะเห็นว่า $B=2A$
ดังนั้น $\sqrt{6\sqrt{6\sqrt{6...}}}=2\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+...}}}$

ข้อสุดท้าย พอนำ 3 ด้านมาประกอบกันมันประกอบไม่ได้ เพราะไม่ได้เป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม คือ $2010 + 2011 \leqslant 5532$ จะเป็นสามเหลี่ยมได้ $2010 + 2011 > 5532$ ก่อน

ผมว่าข้อนี้ง่ายที่สุด

2010+2011 < 5532 จึงไม่สามารถสร้างเป็นสามเหลี่ยมได้ :haha:

กระจายออกมาธรรมดาๆจะได้

$(x+1)^4-(x-2)^3 = x^4+3 x^3+12 x^2-8 x+9$

Attachment 4322

Attachment 4323

สามเหลี่นยม ADC โดยปิธากอรัส ได้ AC = 15

ให้ DE = x

AB = 2x

BC = 15 - 2x

สามเหลี่ยม BCE $ \ \ 25^2 = (15-2x)^2 + (20+x)^2$

$x = 4, 0$

$BC = 7 \ $ หรือ $15$

Attachment 4324

$\sqrt{(1+\sqrt{3} )(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{3})\sqrt{3}+1} $

$ = \sqrt{(2+3\sqrt{3}+3)(3\sqrt{3}+3)+1} $

$ = \sqrt{(3\sqrt{3}+5)(3\sqrt{3}+3)+1} $

$ = \sqrt{27+15\sqrt{3}+9\sqrt{3}+15+1} $

$= \sqrt{43+24\sqrt{3}} $

$ = \sqrt{16+24\sqrt{3}+27 } $

$= \sqrt{(4+3\sqrt{3} )^2} $

$= 4+3\sqrt{3} $

x4+3x3+12x2−8x+9 มั้ง

ขอบคุณทุก Sol . ดีๆนะครับ
มาต่อแล้วนะฮะ สักวันละ 5 ข้อ

$ m+p = 73$

แปลว่า p เป็นจำนวน 2 หลักเท่านั้น

ให้ p = 10a+b และ m = a+b จะได้

(a+b) + (10a+b) = 73

11a +2 b = 73

a ต้องเป็นจำนวนคี่ และเป็นจำนวนคี่ที่ทำให้ 2b < 19

ลองแทนค่า A = 1, 3, 5, 7,

พบว่า A = 1, 3, 7, ไม่เข้าเงื่อนไข

มี A = 5 เท่านั้น ซึ่งจะได้ b = 9

ดังนั้น p = 59

ถ้าไม่กำหนดเงื่อนไขอะไรเพิ่มเติม ก็แบบนี้ครับ

$I^{3A}+I^{2A} $

$I^{2A}(I+1)$

ลากเส้นตั้งฉากจากมุม B

$\dfrac{\frac{1}{2}}{สูง} = sin60^\circ = \dfrac{\sqrt{3} }{2}$

สูง $ \ = \dfrac{1}{\sqrt{3} }$


[ABC] = $\frac{1}{2} \times ฐาน \times สูง $

[ABC] = $ \frac{1}{2} \times 1 \times \dfrac{1}{\sqrt{3} } = \dfrac{\sqrt{3} }{6} \ $ตารางหน่วย

[ มา Update ไม่ได้ ] ดูหนัง แล้ว ไม่มีสมาธิ

ขอโทษด้วยครับ