maximum
 

จงหาค่าสูงสุดของ $$\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}$$ เมื่อ $x$ เป็นจำนวนจริง

แน่นอนว่า No Calculus

เออ... พี่ passer-by เคยเอามาให้เล่นทีนึงแล้ว ตอบ $\sqrt{10}$ ใช่ไหมครับ

เห็นด้วยคับ

ทำไมผมได้เเค่ $$\frac{\sqrt{325}-\sqrt{61}}{4}$$
เองอ่ะครับ

ยังไม่ถูกครับ ยังไงรบกวนแสดงวิธีคิดหน่อยครับ เพราะวิธีที่พี่ passer-by ทำมันใช้เรขาคณิตวิเคราะห์

เคยเล่นไปแล้วหรอเนี่ย - -"

ผมทำเเบบนั้อ่ะครับ ยังไงก็ช่วยดูหน่อยนะครับว่าผิดตรงไหน
$$\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}\leq k$$
$$\Rightarrow \sqrt{x^4-3x^2-6x+13}\leq k+\sqrt{x^4-x^2+1}$$
$$\Rightarrow x^4-3x^2-6x+13\leq k^2+x^4-x^2+1+2k\sqrt{x^4-x^2+1}$$
$$\Rightarrow x^2+3x+\Big(k\sqrt{x^4-x^2+1}+\frac{k^2}{2}-6\Big)\ge 0$$
เเต่เราสามารถเขียนได้ว่า $$x^2+3x+\Big(k\sqrt{x^4-x^2+1}+\frac{k^2}{2}-6\Big)=\Big(x+\frac{3}{2}\Big)^2$$
นั่นคือ โดยการเทียบ สปส.จะได้ว่า $\frac{9}{4}=k\sqrt{x^4-x^2+1}+\frac{k^2}{2}-6$
เเละสมการเป็นจริงเมื่อ $x=-\frac{3}{2}$
เเล้วหาค่า $k$ ออกมาอ่ะครับ

ปล. เดี๋ยวผมจจะพยายาม ทำเเล้วกันนะครับ :)

ทำไมถึงเขียนได้ครับ

ก็ดูจาก ส.ป.ส ของพจน์ $x$ อ่ะครับ

ดูได้อย่างไร

ปล. พจน์ซ้ายมือ ไม่ใช่พหุนาม นะครับ

งงเลยครับ งั้นช่วย Hint เป็นอสมการสามเหลี่ยมให้เเคบลงอีกสักนิดนะครับ :please:
จริงๆผมอยากรู้ที่ผิดของของผมเองนั่นเเหละครับ 555+

ผมใช้เรขาคณิต เอาครับ ผมได้แนวคิดมาจากในนี้แหละ :p

จากสมบัติของอสมการสามเหลี่ยม เรารู้ว่า ด้านสองด้านใดๆบวกกันต้องมากกว่าหรือเท่ากับด้านที่สาม ดังนั้น ผลต่างของด้านสองด้านใดๆต้องมีค่าไม่เกิดด้านที่สาม

เพราะฉะนั้นต้องมองรูปของผลต่างในโจทย์เป็นด้านของสามเหลี่ยมให้ได้ครับ เราเลยต้องอาศัยเรขาคณิตวิเคราะห์เข้าช่วย

โจทย์แบบนี้เก่าจังครับ ผมแทบลืมไปหมดแล้ว อาจจะเพราะไม่ได้เอาไปประยุกต์ใช้กับเค้า