ช่วยเฉลยโจทย์ ทฤษฏีจำนวน หน่อยครับ
 

1.n เป็นจำนวนเต็มบวก $n\geqslant4$ จงแสดงว่าถ้า n+1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว $(n+1)\mid n!$

2.จงแสดงว่า $2^{100!}-1$ หารด้วย100เหลือเศษเท่าใด

3.จงแสดงว่า $1+1/1!+1/2!+1/3!+...+1/n! <3$ ทุกจำนวนเต็มบวก n

4.จงแสดงว่า $2^{n-1}\leqslant n!$ ทุกจำนวนเต็มบวก $n\geqslant 7$

5.n เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $5\mid (1^n+2^n+3^n+4^n+5^n)$ ก็ต่อเมื่อ $4\nmid n$

hint
1. $n+1$ เป็นจำนวนประกอบแล้วมีสมบัติอะไร
2. ควรใช้ Euler's theorem นะ
3. ข้อ 4 มีประโยชน์อย่างนี้แหละ
4. induction
5. Fermat's little theorem

ช่วยเฉลย แบบ ละเอียดไห้หน่อยครับ พอดีผมจำวิธีไม่ค่อยได้แล้ว :D

1. n+1=ab ;for some a,b in N that are less than n+1
Since n! is the product of all natural number from n down to 1, a and b which are less than n+1 must be somewhere in 1,2,...,n. Thus, the product ab=n+1 must divide n!

แล้วถ้า $a=b$ ล่ะครับ

We want to show that if n+1=a^2 then n+1 l n!

The 1st a will be gone using the previous argument.

For the remaining a,

If it is a prime then before it reaches a*a=n+1 it will reach a*2, a*3,...a*(a-1). Since a*2, a*3,...,a*(a-1), which are divisible by a, are contain in n!, n+1l n!.

If it is a composite, say a=lm, then l and m must be somewhere in a!, which is contained in n!. Hence, n+1l n!.
(If l=m, then we have to continue the process until it reaches to the point that the divisor itself is a prime and we are done)

ช่วยเฉลยข้อ 1,2,5 หน่อยครับ

The case prime $a=2$ is unusable since $4 \nmid 3!$
however, the problem only state for $n \ge 4$

ดังนั้นวิธีแบบ inductive แบบนี้ก็ไม่ควรใช้ครับ เพราะมีข้อยกเว้นอยู่กรณีหนึ่ง

จริงๆกรณี composite มีวิธีที่ง่ายกว่านี้ครับ
่Consider $1 \le l < lm^2 <n+1$