พิสูจน์สูตร ระยะทางระหว่างจุดกับเส้นตรง
 

ระยะที่จุดลากไปตั้งฉากเส้นตรงกับระยะห่าระหว่างเส้นที่ขนานกันอ่ะครับ ช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยครับจะได้จำ

Using Pythagorous

ใช้วิธีหาค่าต่ำสุดของระยะทางจากจุดไปยังจุดใดๆบนเส้นตรงครับ

ถ้า เราเลือกจุด $(a,b)$ ใดๆมา เราสามารถหาระยะทางระหว่างจุดนี้กับเส้นตรงที่มีสมการเป็น $Ax + By + C = 0$ ได้โดยเลือกจุด $(x,y)$ ใดๆที่อยู่บนเส้นตรงนี้มา แล้วหาระยะทางกำลังสองระหว่างสองจุดได้เป็น
$$(x-a)^2+(y-b)^2$$
แต่เราทราบความสัมพันธ์ของ $x,y$ เราจะได้ว่าระยะทางกำลังสองจะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร $x$ หรือ $y$ เพียงตัวแปรเดียว จากนั้นก็ใช้ความรู้เกี่ยวกับค่าต่ำสุดของพหุนามกำลังสอง เราจะได้จุดที่ให้ค่าต่ำสุดออกมา พอนำไปแทนค่าก็จะได้ระยะทางที่น้อยที่สุดครับ

ตัวอย่าง 1 จงหาระยะทางระหว่างจุด $(1,2)$ กับเส้นตรง $2x + y - 1 = 0$
วิธีคิด ระยะทาง กำลังสอง ระหว่างจุด $(1,2)$ กับจุด $(x,y)$ ที่อยู่บนเส้นตรงคือ
$$(x-1)^2+(y-2)^2 = (x-1)^2 + (1-2x-2)^2 = 5x^2+2x+2=5(x+\frac{1}{5})^2+\frac{9}{5}$$

ดังนั้น ระยะทาง กำลังสอง ระหว่างจุด $(1,2)$ กับเส้นตรง $2x + y - 1 = 0$ คือ $\frac{9}{5}$ เมื่อ $x=-\frac{1}{5},y= \frac{7}{5}$
ถ้าอยากได้ระยะทางที่แท้จริงก็ถอดรากที่สองเอาครับ

ตัวอย่าง 2 จงหาระยะทางระหว่างจุด $(1,2)$ กับเส้นตรง $y - 1 = 0$
วิธีคิด ระยะทาง กำลังสอง ระหว่างจุด $(1,2)$ กับจุด $(x,y)$ ที่อยู่บนเส้นตรงคือ
$$(x-1)^2+(y-2)^2 = (x-1)^2 + (1-2)^2 = (x-1)^2+1$$

ดังนั้น ระยะทาง กำลังสอง ระหว่างจุด $(1,2)$ กับเส้นตรง $y - 1 = 0$ คือ $1$ เมื่อ $x=1,y=1$

ตัวอย่างนี้ค่อนข้างจะเห็นได้ชัดถ้าเราลองวาดรูปดู เพราะเส้นตรงเป็นเส้นตรงในแนวนอน เราก็แค่ลากเส้นตามแนวตั้งลงมาบรรจบกับเส้นตรงก็จะได้คำตอบ ซึ่งจะเห็นว่าคำตอบที่ได้ก็เท่ากับวิธีที่ผมนำเสนอมา

ถ้าจะหาระยะทางระหว่างเส้นขนานสองเส้นก็ใช้วิธีเดียวกันครับ เพียงแค่เราเลือกจุดในเส้นตรงมาซักจุดหนึ่งแล้วก็ใช้วิธีการข้างบนหาจุดบนเส้นตรงอีกเส้นที่ทำให้ระยะห่างมีค่าน้อยสุดก็จะได้ระยะทางระ หว่างเส้นขนานครับ เราสามารถใช้วิธีการเดียวกันนี้กับวัตถุทางเรขาคณิตอย่างอื่นได้ด้วยครับ แนวคิดเดียวกันแต่เปลี่ยนแค่ตัวสมการครับ เช่นระยะทางระหว่างจุดกับวงรี จุดกับวงกลม วงกลมกับเส้นตรง ฯลฯ ถ้าเรียนสูงขึ้นสามารถใช้แคลคูลัสได้ วิธีการนี้ก็คือแนวคิดจากระเบียบวิธีตัวคูณลากรองจ์นั่นเองครับ :)

ทีนี้ผมอยากรู้ที่มาสูตรพื้นที่วงกลมกับวงรีอีกอย่างครับจะเป็นพระคุณอย่างสูง

สูตรระยะทางระหว่างจุดกับเส้นตรง ถ้าประยุกต์อสมการโคชี ก็จะง่ายมากๆเลยครับ. :cool:

โคชีคืออะไร

ระยะทางระหว่างจุด $(x_1, y_1)$ กับ เส้นตรง Ax + By + C = 0 หาได้จากระยะทางระหว่างจุด $(x_1, y_1)$ กับ จุด (x, y) ใด ๆ ที่อยู่บนเส้นตรง ซึ่งมีค่าเท่ากับ $\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}$

โดยอสมการโคชี : $(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) \ge (a_1b_1 + a_2b_2)^2$
หรือ $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\sqrt{b_1^2 + b_2^2} \ge |a_1b_1 + a_2b_2|$

ดังนั้น$ \sqrt{A^2 + B^2}\sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \ge |A(x-x_1) + B(y-y_1)|$

$\Rightarrow \sqrt{(x-x_1)^2 + (y-y_1)^2} \ge \frac{|Ax_1 + By_1 - (Ax + By)|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} (\because Ax + By + C = 0)$

ซึ่งมีค่าต่ำสุด คือ $\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ นั่นเอง :)

โอวยอดเยี่ยมครับพี่ gon ไม่ยักรู้ว่า Cauchy's inequality ทำแบบนี้ได้ด้วย งั้นผมแสดงวิธีตัวคูณลากรองจ์ที่พี่ noonuii บอกไว้ละกันครับ ใช้ความรู้ที่เรียนซะหน่อยเดี๋ยวจะลืม
จัดรูปแบบเป็นปัญหาค่าต่ำสุด
\[ \begin{array}{ccl} {\displaystyle \min_{x\in \mathbb{R}^2} f(x,y)} &=&(x-a)^2+(y-b)^2 \\
\text{subject to} \; \;g(x,y)&=&Ax+By+C
\end{array}\]
โดยเงื่อนไขลากรองจ์
\[ \nabla f(x,y) + \lambda \nabla g(x,y) = 0 \]
แก้สมการจะได้ว่า
\[ x=a-\lambda \frac{A}{2}, \;\; y=b-\lambda \frac{B}{2}, \;\; \lambda = 2\frac{Aa+Bb+C}{A^2+B^2}\]
เนื่องจาก $f(x,y)$ เป็น Quadratic function จึงได้ว่ามีจุดต่ำสุดเพียงจุดเดียว ดังนั้นเอาค่าต่างๆไปแทนใน f(x,y) แล้วก็ถอดรากที่สองจะได้สูตรที่ต้องการ

สูตรของพื้นที่วงกลมกับวงรีที่พิสูจน์โดยใช้เรขาคณิตอย่างเดียวนี่ดูเหมือนจะยุ่งยากน่าดูครับ แต่ถ้าใช้แคลคูลัสจะง่ายขึ้นเยอะทีเดียว

พื้นที่วงรีที่มี ครึ่งหนึ่ง ของความยาวแกนเอกและแกนโทเป็น $a,b$ คือ $\displaystyle{\frac{4b}{a}\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \, dx = \pi ab}$

ถ้าอยากได้สูตรพื้นที่วงกลมก็แทน $a=b$ ในสูตรข้างบนครับ เพราะวงกลมก็คือวงรีที่แกนเอกกับแกนโทยาวเท่ากัน :D