จำนวนสามเหลี่ยม โจทย์ สสวท ป. 3
 

เด็กจำออกมาถาม

ข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ชั้นประถมปีที่ 3 ของ สสวท ปี 2547 ข้อสอบรอบสองครับ

จากรูปที่กำหนด มีสามเหลี่ยมทั้งหมดกี่รูป


นับแบบเด็กประถม บางครั้งก็นับได้ 35 รูป บางครั้งก็ได้ 41 รูป ก็เลยไม่รู้ว่ามีกี่รูป
นอกจากนับแบบนี้แล้ว มีสูตรคำนวนไหมครับ

คำถามนี้น่าสนใจครับ เดี๋ยวจะลองดูว่ามีวิธีคิดที่เจ๋ง ๆ หรือเปล่า เท่าที่คิดได้ตอนนี้ดูยังไม่งดงามเท่าไร :)

อ้อ. สสวท ผลสอบรอบแรกเพิ่งประกาศไปนี่้เอง

เป็นข้อสอบ ป.3 รอบสอง ของปีที่แล้วครับ (2547)

มึนมากเลยครับ คิดวิธีที่นับดี ๆ ไม่ได้ ผมนับได้ 36 รูป ครับ
ลองดูวิธีการนับของผมนะครับว่าพลาดตรงไหนหรือเปล่า?

เริ่มต้น ผมมองส่วนสูงตรงกลางเป็นเส้นแบ่งครึ่งก่อน จากนั้นก็นับเฉพาะรูปสามเหลี่ยมทางด้านซ้ายมือเดี่ยว ๆ ได้เท่าไรค่อยไปคูณด้วย 2 ซึ่งจะแบ่งกลุ่มเป็นดังนี้

กลุ่มที่ 1 : รูปสามเหลี่ยมไม่มีเส้นตรงใด ๆ ตัดผ่านเลย คือ เป็นเดี่ียว ๆ จะมี 6 รูป
กลุ่มที่ 2 : รูปสามเหลี่ยม ที่มีเส้นตรงลากตัดผ่าน 1 เส้น จะมี 5 รูป
กลุ่มที่ 3 : รูปสามเหลี่ยม ที่มีเส้นตรงลากตัดผ่าน 2 เส้น จะมี 1 รูป
กลุ่มที่ 4 : รูปสามเหลี่ยม ที่มีเส้นตรงลากตัดผ่าน 3 เส้น จะมี 2 รูป
กลุ่มที่ 5 : รูปสามเหลี่ยม ที่มีเส้นตรงลากตัดผ่าน 4 เส้น จะมี 1 รูป

รวมทุกกลุ่ม 15

ดังนั้นเมื่อรวมทางด้านขวามือจะมี 15 + 15 = 30

ต่อไปก็เก็บรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ทั้งสองด้านของสามเหลี่ยมก็จะมี
รูปเล็กกลาง 1 รูป , รูปใหญ่สุด 1 รูป, รูป ตะแคงทั้งด้านบนและล่างอย่างละ 2 + 2 = 4 รูป

ดังนั้นรวมทั้งหมดจึงมี 30 + 6 = 36 รูป ครับ :)

สำหรับข้อนี้ผมยอมแพ้ไปแล้วครับ ไม่รู้ว่ามีเทคนิคพิเศษในการนับไหม แต่นับตรงๆแล้วมั่วมากครับ มีทั้งนับซ้ำ นับขาด มึนตึ๊บ :confused: สรุปว่าคนที่แก่แล้วไม่ควรทำโจทย์ของเด็กประถม อาจเป็นอันตรายต่อสุขภาพได้ครับ :D

แฟนผมนับได้ 47 ครับ ผิดถูกยังไงดูรูปประกอบกันเอาเองนะครับ :)

ผมนับแบบนี้ครับ

สังเกตว่ามี 7 จุดที่มีเส้นตรงเชื่อมถึงกันหมด คือ A, B, C, D, E, F และ G ดังนั้นจะนับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดยอดมาจาก 7 จุดดังกล่าวเท่านั้นก่อน จะมีจำนวนสามเหลี่ยมทั้งหมด \( \displaystyle{ {7 \choose 3} - 6{3 \choose 3} = 29\ } \) รูป

พิจารณาจุด H, I และ J ที่เหลือ ซึ่งไม่มีเส้นตรงเชื่อมถึงกันเลย จะนับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดยอดอันหนึ่งเป็นจุด H ได้ทั้งสิ้น \( \displaystyle{ {5 \choose 2} - {2 \choose 2} - {3 \choose 2} = 6\ } \) รูป

ในทำนองเดียวกัน จำนวนสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดยอดอันหนึ่งเป็นจุด I และ จำนวนสามเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจุดยอดอันหนึ่งเป็นจุด J ก็มีอย่างละ \( 6\ \) รูป

ดังนั้นจำนวนรูปสามเหลี่ยมทั้งหมดคือ \( 29 + 3(6) = 47\ \) รูป

ขอบคุณสำหรับทุกคำตอบ

แต่ยังมีข้อสงสัยคำตอบของคุณ TOP
ตัวเลขในวงเล็บคืออะไร เด็กน้อยประถมไม่เข้าใจ

${n \choose r} $ แทนจำนวนวิธีในการเลือกของ r ชิ้น ที่แตกต่างกัน จากของ n ชิ้นที่แตกต่างกัน.

- ตอนนี้ Top ไปอยู่เที่ยวเกาะครับ กลับมาวันอาทิตย์มั้ง :)

สามเหลี่ยมในเว็บทำได้สวยจัง เขาทำกันยังไง (ทั้งของคุณwarut และคุณTOP )

ผมก็ไม่ทราบครับ แฟนผมเป็นคนทำ แล้วจะให้เค้ามาตอบละกันนะครับ

ภาพเรขาคณิตทุกอันที่ผมวาด สร้างจากโปรแกรม WinGeom ทั้งสิ้นครับ คุณ banker ลองไปหัดใช้ได้ครับ ตัวนี้ฟรี และใช้งานได้ดีเหมือนกับโปรแกรมที่ต้องเสียเงินทั้งหลาย :great:

ข้อมูลเพิ่มเติมศึกษาได้จากบทความ การใช้งานโปรแกรม WinGeom เบื้องต้น

อ้ออีกนิดหนึ่ง \( \displaystyle{ {n \choose r} = \frac{n!}{(n-r)!r!} } \)
โดย \( n! = n(n-1)(n-2)\cdots3\cdot2\cdot1\ \) เช่น \( 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120 \)

ขอบคุณคุณTOP ครับ download มาแล้ว ขอเวลาทำความเข้าใจก่อนครับ

ถามให้แล้วครับ แฟนผมเค้าใช้ AutoCAD ทำครับ คิดว่าคงไม่เหมาะกับงานแบบนี้เท่ากับ WinGeom หรอกครับ

สวัสดีครับ ขอคิดแบบเด็กประถมนะครับ คือผมว่ามีสามเหลี่ยม 2 รูปซ้อนกัน คือมีรูปเล็กซ้อนรูปใหญ่ โดยที่สามเหลี่ยม 2 รูปนี้ไม่ว่าเล็กหรือใหญ่จะประกอบไปด้วย สามเหลี่ยม ตามรูปแถวบน และตัวมันเอง
รวมเป็น 16 รูป รวมรูปเล็ก+ใหญ่ จะได้ 32 รูป ทีนี้มาพิจารณาสามเหลี่ยมที่ไม่ได้อยู่ในรูปเล็กหรือใหญ่
ตามที่กล่าวมาอีก ตามรูปแถวล่างซึ่งรวมได้อีก 15 รูป จึงทำให้รูปสามเหลี่ยมตามโจทย์ ประกอบด้วยสามเหลี่ยมแต่ละขนาด = 32+15 = 47 รูป ครับ (ผิดถูกอย่างไรขอคำชี้แนะด้วยนะครับ เสียเวลาคิดตั้ง
หลายวันเพื่อให้แตกต่างจากท่านอื่น ๆ)