proof, prime number
 

รบกวนถามหน่อยนะคะ


พิสูจน์ว่า จำนวนเต็ม m,n ใดๆ แล้ว จำนวนเฉพาะ p,
ถ้า p|mn แล้ว p|m หรือ p|n


ช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ
ขอบคุนมากๆค่ะ

แทน m , n และ p = 2
$2\mid(2)(2)$

จะได้ $2\mid2$ & $2\mid2$

ถ้าพิสูจน์แบบเอา ทบ มาอ้าง
เขียนเป็นขั้นตอน

จะทำไงอะคะ

ใช้ ทบ. ของยูคริก

ตัวตั้ง = (ตัวหาร)(ผลหาร) + เศษ

แต่ที่เค้าบอกมานั้น แทน p เป็นจำนวนเฉพาะอะไรก็ได้ใช่ไหมครับ ส่วน m,n นั่นเป็นจำนวนนับใดๆ และยังบอกอีกว่าเป็นการหารลงตัว
ดังนั้น เศษ = 0

เช่น
แทน m เป็น 4 แทน n เป็น 6 และแทน p เป็น 2

mn = p(ผลหาร) + 0
(4)(6) = 2(12) + 0


m = p(ผลหาร) + 0
4 = 2(2) + 0

n = p(ผลหาร) + 0
6 = 2(3) + 0



พอจะเข้าใจบ้างไหมครับ ถ้าผิดพลาดประการใดคงต้องรอให้เทพๆมาเฉลยนะครับ T-T

ใช้ความสมมูลของประพจน์ที่ว่า $$p\rightarrow (q\vee r)\equiv (p\wedge \sim q)\rightarrow r$$

นั่นคือ ถ้า $p\mid mn$และ $p\nmid m$ แล้ว $p\mid n$

เราสามารถเขียนได้ว่า
m=px+a
n=py+b
โดยที่ x,y,a,b เป็นจำนวนนับ
เพราะว่า
$p$ หาร $(px+a)(py+b)$ ลงตัวเราจะได้ว่า
$p$ หาร $p^2xy+pay+pxb+ab$ ลงตัวด้วย
เนื่องจาก p หาร $p^2xy+pay+pxb$ ลงตัวอยู่แล้วเราจึงได้ว่า
$p$ ต้องหาร $ab$ ลงตัว และเนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จึงได้ว่า
$a,b$ ต้องมีซักตัวที่ $({a,b},p)=p$
WLOG
ให้ $a=pn$
เห็นได้ว่า
$m=px+pn=p(x+n) $นั้นคือ p หาร m ลงตัวนั้นเอง

เอ่อ การแทนค่าเค้าไม่ยอมรับในคณิตศาสตร์ใช่ป่ะครับ

ผมว่าการพิสูจน์อันนี้มันเป็นการให้เหตุผลแบบงูกินหางนะครับ

ถ้าหากเราอ้างได้ว่า

"$p$ ต้องหาร $ab$ ลงตัว และเนื่องจาก $p$ เป็นจำนวนเฉพาะจึงไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จึงได้ว่า $a,b$ ต้องมีซักตัวที่ $(\{a,b\},p)=p$"

เราก็อ้างแบบนี้ได้ตั้งแต่แรกเลย โดยแทน $a$ ด้วย $m$ และแทน $b$ ด้วย $n$ ไม่ต้องไปแปลงต่อให้ยุ่งยาก

ครับ รับทราบแล้วครับ

พิสูจน์ตามความเห็นที่ 5 ครับ
ให้ $p|mn$ และ $p\not | m$ แล้ว
$mn = pq \exists q \in \mathbb{Z}$ และ $m = pq_1+r_1 \exists q_1 \in \mathbb{Z}$ และ $\exists r_1 \in \mathbb{N}$ โดยที่ $0<r_1<p$
ดังนั้น $mn = npq_1 + nr_1$ แต่เนื่องจาก $mn = pq$
เพราะฉะนั้น $nr_1 = pq_2 \exists q_2 \in \mathbb{Z}$
แต่เนื่องจาก $0<r_1<p$ ดังนั้น $p|n$

การแทนค่าแบบคณิตศาสตร์ก็มี:cool:
เขาเรียกว่า trial and error หรือการลองผิดลองถูก :D
ดูเพิ่มtrial and error
link: http://en.wikipedia.org/wiki/Trial_and_error
:rolleyes:
ปล. คนมันเทพ(ล้อเล้นนะ):haha:

สิ่งที่เราต้องพิสูจน์จะสมมูลกับ "ถ้า $p\mid mn$ และ $p\nmid n$ แล้ว $p\mid m$
จาก $p\mid mn$ ได้ว่า จะมี $k$ ที่ทำให้ $mn=kp$
นั่นคือ $m=\frac{kp}{n}$
แต่จาก $m\in \mathbf{I} $ และ $n\nmid p$
แสดงว่า $n\mid k$
นั่นคือ $ p\mid m$ ตามต้องการ

ผมยังงงบรรทัดสุดท้ายครับ จาก $nr_1 = pq_2$ กับ $0<r_1<p$ แล้วทำไม $p\mid n$ ครับ?

ตรง $m=\frac{kp}{n}$ กับ $n\nmid p$ แล้วสรุปว่า $n\mid k$ ผมว่ามันแปลกๆ อยู่นะ
อืม.. ถ้าอย่างนั้น ผมก็ไม่ต้องทำข้างบนยาวๆ ก็ได้ ผมแค่บอกว่า
จาก $\frac{mn}{p}$ เป็นจำนวนเต็ม และ $p\nmid m$ แสดงว่า $p\mid n$
ซึ่งใช้วิธีการอ้างเหตุผลเหมือนข้างบน

สิ่งที่อ้างคือความจริงสิ่งที่ต้องการพิสูจน์ ดังนั้นมันจึงกลายเป็นการพิสูจน์แบบงูกินหางครับผม

วิธีการพิสูจน์ที่เจอในหนังสือของท่าน Euclid ลองอ่านที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_lemma