เส้นขนาน
 

จํานวนขอบเขต (region) ที่มากที่สุดที่เกิดจากเส้นขนาน 1,000 คู่ ตัดกันบนระนาบ

ยังไม่ทราบว่าจะเริ่มต้นอย่างไร
รบกวนผู้รู้ช่วยบอกแนวทางในการคิดด้วยนะคะ

ผมไม่เข้าใจโจทย์อะครับ ช่วยอธิบายโจทย์คร่าวๆได้ไหมครับว่าเขาให้ทำอะไร จะได้ช่วยคิดอีกแรงครับ

คาดการณ์นะครับ
เส้นขนาน n คู่ เมื่อ n >= 2 เกิดรูปพื้นที่ขอบเขตเป็น 2n(n-2)+1
ดังนั้นเส้นขนาน 1000 คู่ จึงเกิดรูปพื้นที่ขอบเขต (2x1000)(1000-2)+1 = 3,996,001 รูป

คาดการณ์ว่า
การสร้างให้เกิดรูป 2n เหลี่ยมจากเส้นขนาน n คู่จะทำให้เกิดรูปขอบเขตมากที่สุด
เช่น
เส้นขนาน 2 คู่ ต้องสร้างเป็นรูป 4 เหลี่ยม 1 รูป
เส้นขนาน 3 คู่ ต้องสร้างเป็นรูป 6 เหลี่ยม 1 รูป
เส้นขนาน 4 คู่ ต้องสร้างเป็นรูป 8 เหลี่ยม 1 รูป
เส้นขนาน 5 คู่ ต้องสร้างเป็นรูป 10 เหลี่ยม 1 รูป

*** ผมอุปนัยจากการสร้างรูปจากเส้นขนาน 3 และ 4 คู่นะครับ แต่จะแสดงแค่ 3 ดังนี้

เส้นขนาน 3 คู่ทำให้เกิดรูป 6 เหลี่ยม 1 รูป
1. เส้นขนาน 3 คู่ทำให้เกิดรูป 6 เหลี่ยม 1 รูป
2. ลองสร้างรูปดูนะครับ
3. มาดูกันว่าหากต่อด้านของรูป 6 เหลี่ยมออกไปจะเกิดเป็นรูปเหลี่ยมอะไรได้บ้าง (น้อยที่สุดคือรูป 3 เหลี่ยม)
4. ลองวาดรูปแล้วต่อด้านออกไปนะครับ (ผมแทรกรูปไม่ได้อะครับ)
จะเห็นว่า รูป 6 เหลี่ยมเมื่อต่อด้านออกไปจะได้รูปที่มีจำนวนเหลี่ยมรองลงมาคือรูป 3 เหลี่ยม
จำนวน 6 รูป : เกิดจากด้านของรูป 6 เหลี่ยมที่อยู่ติดกันแต่ไม่ถึงด้านที่อยู่ตรงข้ามกันหรือขนานกัน
จำนวนเท่ากับด้านทั้งหมดของรูป 6 เหลี่ยม

รูป 2n เหลี่ยมก็เช่นเดียวกัน เมื่อต่อด้านออกไปจะได้รูปที่มีเหลี่ยมมากรองลงมา คือ
รูป n เหลี่ยมจำนวน 2n รูป , รูป n-1 เหลี่ยมจำนวน 2n รูป , ? , รูป 3 เหลี่ยมจำนวน 2n รูป
รวมเกิดรูปขอบเขตทั้งหมด 2n(n-2)+ 1 รูป

Region น่าจะหมายถึง อาณาบริเวณ นะครับ :)

เอ... ที่ผมคิดไว้ ไม่ถูกอะครับ ลองทำรูป 12 เหลี่ยมเเล้ว แต่เมื่อต่อเส้นออกไปกลับไม่เกิดรูป 5 เหลี่ยมหรือ 6 เหลี่ยมเลย
ตอนนี้เกิดแนวคิดขึ้นใหม่ว่า ไม่ว่าจะต่อด้านออกไปจากรูปกี่เหลี่ยมก็ตามก็จะเกิดแค่รูป 3 เหลี่ยมกับ 4 เหลี่ยมเท่านั้น
ผมขอคาดการณ์เรื่องนี้ไว้ก่อนนะครับ (กะจะลองหาดูว่าจะเกิดรูป 3 เหลี่ยมหรือ 4 เหลี่ยมกี่รูป)...:confused::confused::confused:

ขอบคุณ คุณ Free style 01 ที่มาช่วยคิดนะคะ


ตอบคุณ Amankris,

อาณา แปลว่า อำนาจปกครอง
อาณาบริเวณ คือ บริเวณที่อยู่ในอำนาจปกครอง

region แปลว่า
area, part, section, territory, district, country, ...
ขอบเขต, บริเวณ, ส่วน, ภูมิภาค, ...

จึงคิดว่า เป็นพื้นที่ที่มีเส้นรอบรูปหรือมีขอบเขต
ถ้าเข้าใจผิด ช่วยแนะนำด้วยนะคะ

งั้นเอาโจทย์เดิมมาลงดีกว่าครับ

ไม่ผิดหรอกครับ ผมก็คิดได้เท่ากัน

ผมคิดว่าสิ่งสำคัญไม่ได้อยู่ที่รูปแบบของเหลี่ยมที่จะเกิดตามสมมติฐาน
แต่อยู่ที่ "จำนวนจุดตัดมากที่สุดของเส้นขนานเส้นถัดไปที่ทำให้เกิด regions มากที่สุด" ต่างหาก

ผมอยากแนะนำว่าลองลบเงื่อนไขโจทย์ที่บอกว่าขนานออกไปก่อน แล้วดูกรณีเส้นตรงธรรมดาๆ
จะพบว่า region มากที่สุด จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อเกิดจุดตัดมากที่สุด สำหรับเส้นตรงเส้นใดๆที่เรากำลังจะลาก

ให้ $a_{n}$ แทน region ที่มากที่สุดสำหรับเส้นตรงเส้นที่ $n$ ใดๆ
จะได้ $a_{n}=n-2+a_{n-1}$ สำหรับ $n \geq 4$ และ $a_{3}=1$

ส่วนกรณีที่ถามเส้นขนาน
ให้ $a_{n}$ แทน region ที่มากที่สุดสำหรับเส้นขนานคู่ที่ $n$ ใดๆ
จะได้ $a_{n}=2(2(n-1)-1)+a_{n-1}$ สำหรับ $n \geq 3$ และ $a_{2}=1$

ปล.โจทย์ข้อนี้เล่นที่ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับเส้นขนานคู่ใดๆ region ที่เกิดจากเส้นขนานเส้นแรก
จะเท่ากับ region ที่เกิดจากเส้นขนานเส้นที่ 2 อีกเส้นที่เป็นคู่ของมัน มันจะตัดเส้นก่อนหน้าเท่ากันและเกิด region เท่ากันครับ

คุณ Aquila ตื่นเช้าจัง !

ข้อนี้ตอนแรก มองไม่ออกว่าจะคิดอย่างไร ทำให้พาคุณ Free Style หลงทางไปด้วย :D

อ่านข้อความของ คุณ Aquila แล้ว เข้าใจถึงที่มาของความสัมพันธ์ คิดแล้วยังไม่เห็นที่ผิด
ได้แนบรูปภาพของ a4 = 17 ( วาดแบบให้ตัดเส้นขนานเดิมให้หมดทุกคู่ )

การคำนวณหาคำตอบ
a2 = 1
a3 = 7
a4 = 17
a5 = 31
a6 = 49
.
.
.
a1000

ผลต่าง จะเป็น 6, 10, 14, 18, ? , 3,994
ผลรวมของผลต่างเป็น 1,996,000

a1000 = 1 + 1,996,000 = 1,996,001 regions
ช่วยตรวจสอบหน่อยนะคะ ว่าคิดผิดที่ตรงไหน ( คำตอบนี้ไม่ตรงกับเฉลยค่ะ )

ขอบคุณมากค่ะ


@ K. Amankris,

1000 pairs of parallel lines are drawn on a plane. What is the maximum number of regions formed by these lines ?

Thank you for your kindness :)

ข้อนี้น่าจะตอบ $2000001$ นะครับ

สงสัย คุณ Amankris เป็นผู้คิดโจทย์ข้อนี้เอง :)

ที่แสดงวิธีคิดมา ทําผิดที่ตรงไหน กรุณาแนะนําด้วยนะคะ

นับถืออย่างสูงค่ะ

:great::great::great:

แปลความหมาย region ผิดไปครับ

เส้นขนาน 1 คู่ แบ่งระนาบ เป็น 3 ส่วนครับ

ขอบคุณค่ะ ได้ความรู้ใหม่ จะนําไปคิดอีกครั้งค่ะ

ขอถาม 2 ข้อนะคะ
ถ้าโจทย์ต้องการถามถึงจํานวนพื้นที่ที่มีขอบเขต แบบรูปที่แนบ
1. จะใช้คําว่าอะไรในภาษาอังกฤษ แทน region
2. วิธีคิดที่แสดงมา ถูกต้องไหมคะ
ถ้าผิด ช่วยแนะนําด้วยนะคะ

1 ไม่ทราบครับ
2 ถูกต้องแล้วครับ