Mathcenter Forum - โจทย์นับจำนวนฟังก์ชัน

อ้างอิง:

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ แฟร์ (ข้อความที่ 175923)

ให้ A = {1,2,3,4,5}
จงหาจำนวนของฟังก์ชัน f: A --> A ที่สอดคล้องกับ f(j) < f(i) + j - i สำหรับทุกจำนวนเต็ม i,j เป็นสมาชิกของ A ที่ i < j

f(1) ที่เป็นไปได้มี 5 จำนวน
f(2) ที่เป็นไปได้มี 5 จำนวน
f(3) ที่เป็นไปได้มี 5 จำนวน
f(4) ที่เป็นไปได้มี 5 จำนวน
f(5) ที่เป็นไปได้มี 5 จำนวน
จำนวนของฟังก์ชัน ที่เป็นไปได้มี 5^5 = 3,125 ฟังก์ชัน

เงื่อนไขที่ 1 , f(2) < f(1) + 2 - 1
เงื่อนไขที่ 2 , f(3) < f(1) + 3 - 1
เงื่อนไขที่ 3 , f(4) < f(1) + 4 - 1
เงื่อนไขที่ 4 , f(5) < f(1) + 5 - 1
เงื่อนไขที่ 5 , f(3) < f(2) + 3 - 2
เงื่อนไขที่ 6 , f(4) < f(2) + 4 - 2
เงื่อนไขที่ 7 , f(5) < f(2) + 5 - 2
เงื่อนไขที่ 8 , f(4) < f(3) + 4 - 3
เงื่อนไขที่ 9 , f(5) < f(3) + 5 - 3
เงื่อนไขที่ 10 , f(5) < f(4) + 5 - 4

ใน 3,125 ฟังก์ชัน ที่สอดคล้องครบทั้ง 10 เงิ่อนไข
มีทั้งหมด 126 ฟังก์ชัน Answer

คิดยังไงครับ

ที่ผมทำ ผมแบ่งกรณี f(1) = 1,2,3,4,5
กรณี f(1) = 1 ผมได้ 1 ฟังก์ชัน
กรณี f(1) = 2 ผมได้ 5 ฟังก์ชัน (ซึ่งตรงกับ \sum_{n = 1}^{\5} 1 )
กรณี f(1) = 3 ผมได้ 15 ฟังก์ชัน (ซึ่งตรงกับ \sum_{n = 1}^{\5} n )
กรณี f(1) = 4 ผมได้ 35 ฟังก์ชัน (ซึ่งตรงกับ \sum_{n = 1}^{\5} \sum_{n = 1}^{\n} n )
กรณี f(1) = 5 ผมอุปนัยว่าได้ = \sum_{n = 1}^{\5} \sum_{n = 1}^{\n} \sum_{n = 1}^{\n} n = 420 ฟังก์ชัน
รวม5กรณี ได้ทั้งหมด = 1+5+15+35+420 = 476 ฟังก์ชัน
ไม่รู้ถูกหรือเปล่า (ส่วนที่ทำไมตรงกับสูตรsumผมคิดไม่ออก :confused:)