ดัดแปลงมาจาก PRTST-2009
 

Credit
http://sites.google.com/site/pemooff...st/prtst-april
Official Problem for $a,b,c\geq 0$ prove that
$\sum_{cyc} a\sqrt{6a+21b}\leq \sqrt{8\sum_{cyc} a^3+30\sum_{cyc} a^2b+15\sum_{cyc} ab^2+84abc}$
โจทย์จริงค่อนข้างยาก เลยทำให้ง่ายลงหน่อย

My easier version for everyone!!
for $a,b,c\geq 0$ prove that
$\sum_{cyc} a\sqrt{6a+21b}\leq \sqrt{10\sum_{cyc} a^3+33\sum_{cyc} a^2b+16\sum_{cyc} ab^2+66abc}$
:)

เป็นโจทย์ที่ "Hoad Jing" มากมาย :great:

Hoad Jing แรพเลยหรอครับคุณ king of inequality 555555

มันต้อง Hoad Jing แรพแน่นอนครับ คุณ Queen of inequality 555555

เท่าที่ดูตามลิงก์มันก็เป็น ข้อ 3 เชียวนะครับ :sweat:

Solution for Hoad Jing แรพ Official problem
โดยไม่เสียนัยเรา normalize ให้ $a+b+c=3$
จากอสมการโคชีเราได้ว่า
$(\sum_{cyc} \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{4-b}}\sqrt{(4-b)(6a^2+21ab)})^2\leq (\sum_{cyc} \frac{a}{4-b})(\sum_{cyc} (4a+b+4c)(2a^2+7ab))= (\sum_{cyc} \frac{a}{4-b})(8\sum_{cyc} a^3+30\sum_{cyc} a^2b+15\sum_{cyc} ab^2+84abc)$
ดังนั้นจึงเป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$(\sum_{cyc} \frac{a}{4-b})\leq 1 $
ซึ่งเป็นจริงจาก Hoad Jing แรพ inequality!!! ที่มี King of inequality ไปโพสไว้แล้วใน mathlinks
(ถ้าขี้เกียจหา link วิธีพิสูจน์คือกระจายแล้วใช้ Am-Gm นิดหน่อย)
โหดจริงๆเลยนะครับ แรพโย่ว!! 500 บาท
ส่วนโจทย์ของผมค่อนข้างง่ายกว่านะครับเพราะไม่ได้ใช้อะไรเกี่ยวกับอสมการ Hoad Jing แรพเลย สำหรับทุกๆคนจริงๆนะครับเนี่ย จากใจ Queen of inequality เลยอะครับ 555

Official Problem ถามว่ามันจะเป็นสมการเมื่อไรด้วย :)

ผมเอาลิงค์มาให้เพื่อไขความกระจ่างละกันคับ เพิ่อตอบกรณี equality case แล้วก็เพื่อคนที่ขี้เกียจไปนั่ง search หาใน mathlinks

-(Hoad Jing แรพ inequality?)ให้ $a,b,c\geq 0$ โดยที่ $a+b+c=3$ แล้้ว $\displaystyle\sum_{cyc}\frac{a}{4-b}\leq 1$
พิสูจน์ (Credit: Rose-Joker)
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.ph...39807&t=271837
สังเกตว่าอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $(a=0$ หรือ $b=c$ หรือ $a=b$) และ ($2b=a+c$)
จาก $a+b+c=3$ แล้ว $2b=a+c$ ได้ว่า $b=1$
ในกรณีที่ $b=c$ หรือ $a=b$ จะได้ว่า $(a,b,c)=(1,1,1)$
ส่วนในกรณีที่ $a=0$ จะได้ว่า $c=2$ นั่นคือ $(a,b,c)=(0,1,2)$ และการเรียงสับเปลียนแบบ cyclic

-กลับมาที่อสมการโจทย์ คุณ rose-joker ตกไปนิดนึงครับว่าหาก $a=b=c=0$ แล้วอสมการจะเป็นสมการ เพราะว่าถ้า $a=b=c=0$ ต่อให้สเกลยังไง $a+b+c$ ก็ไม่เท่ากับ 3 ครับ ต้องแยกมาเป็นกรณีต่างหาก

กลับมาที่อสมการโจทย์อีกครั้ง ตอนนี้ $(a,b,c)\not =(0,0,0)$ เราก็สามารถ normalize ให้ $a+b+c=3$ แล้วก็ทำตามที่คุณ rose-joker ทำ จึงได้ว่าอสมการเป็นสมการก็ต่อเมื่ออสมการ Hoad Jing แรพ เป็นสมการด้วย เพราะว่า $\displaystyle8\sum_{cyc} a^3+30\sum_{cyc} a^2b+15\sum_{cyc} ab^2+84abc>0$

ดังนั้นถ้าอสมการโจทย์ดั้งเดิม เป็นสมการแล้ว $a=b=c$ หรือว่า $a=0,2b=c$ สำหรับ $k\geq 0$ ใดๆ และการสับเปลี่ยนแบบ cyclic ด้วย

แต่อย่าลืมสังเกตว่าตอนแรกสุดเราใช้โคชีไปแล้ว ก็มานั่งเช็คไล่กรณีครับว่าแต่ละกันใช้ได้หรือไม่ ซึ่งก็พบว่าใช้ได้ทุกกรณี

ดังนั้นอสมการเป็นสมการ ก็ต่อเมื่อ $a=b=c$ หรือ $a=0,2b=c$ สำหรับ $k\geq 0$ ใดๆ และการสับเปลี่ยนแบบ cyclic ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ป.ล. ชื่ออสมการคือ Hoad Jing แรพ? !?!?:confused: ทำไมมันชื่อประหลาดจังครับ?

วิธีของคุณ Rose_JoKer กับ beginner01 สวยดีครับ คุณ We are the world เกรียนได้ใจมากครับ :haha:

เิอ่อ... ผมไม่ได้แสดงวิธีพิสูจน์อีกวิธีนะครับ แค่เอาลิงค์ที่มีการพิสูจน๋ Hoad jing แรพ(?) inequality มาก็แค่นั้นนะครับ
แล้วก็ถ้าอ่านในลิงค์ก็จะเห็นได้อีกว่าคุณ rose-joker เป็นคนพิสูจน์ไว้ใน mathlinks ด้วยครับ

Hoad Jing Ineq <-> x+y+z=1 sigmacyc x^2y+xyz<=4/27
คนคิดโจทย์เซียนจริงครับ ในการโฮลด์ที่ไม่ธรรมดา