เพชรยอดมงกุฎ 54
 

เฉพาะที่นึกออก
1. n=555,555,555,555 มีตัวประกอบเฉพาะ 8 ตัว จงหาผลบวกของตัวประกอบนั้น
2 สามเหลี่ยมabc มี b เป็นมุมฉาก มี ad แบ่งครึ่ง a(มุม) ab=1 bc=2 bd=?
3.จงหาค่าของ $ \sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } $
เดี๋ยวต่อครับ

$ n=555,555,555,555 = 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 37 \times 101 \times 9,901$

ผลบวกเท่ากับ $3+5+7+11+13+37+101+9,901 = 10,078$

Attachment 6362

$\dfrac{x}{1} = \dfrac{2-x}{\sqrt{5} }$

$x = \dfrac{\sqrt{5} - 1 }{2}$


อ้างอิง

ลองแทนค่า $n = 1, 2, 3, 4 \ $ เพื่อดูรูปแบบ

$\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } + \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } + \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } + \frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } $

$ = \frac{1}{1\sqrt{1+1}+(1+1)\sqrt{1} } + \frac{1}{2\sqrt{2+1}+(2+1)\sqrt{2} } + \frac{1}{3\sqrt{3+1}+(3+1)\sqrt{3} } + \frac{1}{4\sqrt{4+1}+(4+1)\sqrt{4} } $

$ = \frac{1}{\sqrt{2}+2 } + \frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2} } + \frac{1}{3\sqrt{4} +4\sqrt{3} } + \frac{1}{4\sqrt{5}+5\sqrt{4} }$

$ = \frac{\sqrt{2} -2}{2-4} + \frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2} }{12-18} + \frac{3\sqrt{4}-4\sqrt{3} }{36-48} + \frac{4\sqrt{5} -5\sqrt{4} }{80-100}$

$ = \frac{2-\sqrt{2} }{2} + \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3} }{6} +\frac{4\sqrt{3}-3\sqrt{4} }{12} + \frac{5\sqrt{4}-4\sqrt{5} }{20}$

$ = \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{3\sqrt{2} }{6} - \frac{2\sqrt{3} }{6} +\frac{4\sqrt{3} }{12} - \frac{3\sqrt{4} }{12} + \frac{5\sqrt{4} }{20} -\frac{4\sqrt{5} }{20}$

$ =1 - \frac{\sqrt{2} }{2} + \frac{\sqrt{2} }{2} - \frac{\sqrt{3} }{3} + \frac{\sqrt{3} }{3} - \frac{\sqrt{4} }{4} + \frac{\sqrt{4} }{4} - \frac{\sqrt{5} }{5}$

$ = 1 - \frac{\sqrt{5} }{5}$

$\therefore \ \ \sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} } = 1 - \frac{\sqrt{361} }{361} = 1 - \frac{19}{361} = \frac{18}{19}$

$\displaystyle \sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n} }=\sum_{n = 1}^{360}\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1} )} $

$\displaystyle =\sum_{n = 1}^{360}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1} ) } $

$\displaystlye = \sum_{n = 1}^{360}\dfrac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1} $

$=\dfrac{359}{360}$

แบบนี้หรือเปล่าครับ

$\displaystyle = \sum_{n = 1}^{360} \left(\dfrac{1}{\sqrt{n} } - \dfrac{1}{\sqrt{n+1} }\right) $

$ = 1 - \dfrac{1}{\sqrt{360+1} } = 1 - \dfrac{1}{19} = \dfrac{18}{19}$

4.เส้นตรงสองเส้นตัดกันที่จุด o ทำมุม 30 องศา มี a และb อยู่บนเส้นหนึ่ง ab=1 หน่วย จงหา ob ที่มากที่สุดที่เป็นไปได้

5. n=2554 n^2 มีตัวประกอบกี่ตัว
ปล.ถ้าจำไม่ผิด ในช้อยรู้สึกจะมีแต่เกินร้อย

6. ลูกบอลแดง 3 ลูก เขียว 2ลูก ขาว 1 ลูก จงหาความน่าจะเป็นที่เรียงโดยแต่ละสีไม่ติดกัน

ข้อ 4 โจทย์มีแค่นี้หรือครับ อ่านแล้วไม่ค่อยเข้าใจ
Attachment 6364

แบบนี้หรือเปล่า

โจทย์แบบนี้หรือเปล่าครับ

ถ้า $n =2554 $

$n^2$ มีตัวประกอบกี่ตัว

7. รูปหกเหลี่ยมแนบในวงกลมมีสามด้านที่ติดกันยาวด้านละ 3 หน่วย อีกสามด้านที่ติดกันยาวด้านละ 5 หน่วย โดยด้านที่อยู่ตรงกลางของกลุ่มด้านที่ยาว 3,5 ขนานกัน จงหาความยาวเส้นทะแยงมุมที่ขนานกับสองเส้นดังกล่าว

โจทย์ ในบรรดาจำนวนเต็มบวก N ทั้งหลายที่มีจำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกรวมทั้งสิ้่น 2554 จำนวน จงหาว่าจำนวนตัวประกอบที่เป็นบวกที่มากที่สุดของ $N^2$ ที่เป็นไปได้จะมีเท่าใด

ขอลงที่จำได้ก่อนนะครับ
8. ให้ $P(x)= (x-2012)(x-2010)(x-2008)...(x-2)$ จงหาว่าจำนวนของจำนวนเต็ม $k$ ที่มำให้ $P(k)\prec 0$ เท่ากับเท่้าไหร่ (มีช้อบมีเป็นอนันต์ด้วย)

9. กำหนดพหุนาม$ p(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง
ถ้าเศษจาก $p(x)$หาร $x-1$ คือ$9$
$p(x)$หาร $x-2$ คือ $39$
$p(x)$หาร $x-3$คือ $89$
$p(x)$หาร $x-4$ คือ $159$ จงหา $a-b+c-d$

10.ถ้า 42 วัน มี n! วินาทีแล้ว n คือจำนวนใด

อีกข้อจำได้แค่ว่าถาม $\frac{a}{b}$ มีค่าเท่าไร ข้อนี้ตอบ 2 ถ้าใครจำได้ก็ช่วยต่อด้วย

ข้อ 8 เป็นอนันต์เปล่าครับ

ข้อ 9 ได้ $a=0,b=10,c=0,d=-1$

ข้อ 10 ได้ n=10 หรือเปล่าครับ

ข้อ 9 ทำยังไงอะครับ ขอวิธีทำด้วยครับ เลขเยอะเเก้ไม่ออก confuse