ลองคิดกันดูนะ
 

1.ให้ r เป็นรัศมีวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยมมุมฉาก สูง h โดยที่ ้h เป็นส่วนสูงที่ลากจากมุมฉากไปยังด้านตรงข้ามมุมฉาก พิสูจน์ 0.4<r<0.5
2.กำหนดให้ 0<x<pi พิสูจน์ว่า cot x/2 >=1+cot x
3.ให้ a,b,c>=0 และ 1/1+a + 1/1+b +1/1+c =1 พิสูจน์ abc>=8
4.หาจำนวนคำตอบของ cos x/4 = cos x เมื่อ x อยู่ในช่วง (0,24pi)

โทษทีนะคับ ข้อ 1 แก้จาก 0.4<r<0.5 แก้เป็น 0.4<r/h<0.5 นะคับ

2. อสมการสมมูลกับ \( \sin{x}\leq 1 \)
โดยใช้เอกลักษณ์ \[ \cos{x} = 1-2\sin^2{x/2}, \sin{x} = 2\sin{x/2}\cos{x/2} \]

3. จากเงื่อนไขของโจทย์จะได้ว่า abc = 2 + (a + b + c)
ตอนนี้คิดได้สองวิธี
วิธีที่ 1 ให้ \( \large{ x = \sqrt[3]{abc} } \)
ดังนั้น
\[ x^3 = abc = 2 + (a+b+c) \geq 2 + 3x \]
\[ x^3 - 3x - 2 \geq 0 \]
\[ (x-2)(x+1)^2 \geq 0 --> x\geq 2 \]
\[ abc \geq 8 \]
วิธีที่ 2
โดย A.M. - H.M. จะได้
\[ (\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c})((1+a)+(1+b)+(1+c))\geq 9 --> a+b+c \geq 6 \]
\[ abc = 2+(a+b+c)\geq 2+6 = 8 \]

ขอบคุณ nooonuii มากๆๆๆๆๆๆคับบ พี่เก่งจังเลยคับ

ให้ด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมยาว a และ b และให้ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว c
ให้ s = (a + b + c)/2 และให้ A คือพื้นที่ของสามเหลี่ยม
จากสูตรของวงกลมแนบในเรารู้ว่า r = A/s และเรารู้ว่า A = hc/2 ดังนั้น\[\frac{r}{h}=
\frac{c}{2s}=\frac{c}{a+b+c}=\frac{1}{1+\frac{a+b}{c}}\]ให้ x เป็นมุมระหว่างด้าน a กับ c เราจะได้ว่า\[\frac{a+b}{c}=
\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\cos x+\sin x=
\sqrt2\sin(x+45^\circ)\]เนื่องจาก 0 < x < 90ฐ ดังนั้น 1 < (a + b)/c < ึ2 และเราจึงได้ว่า\[0.4<\sqrt2-1=
\frac{1}{1+\sqrt2}<\frac{r}{h}<\frac{1}{1+1}=0.5\]ตามต้องการคร้าบ :D

ขอบคุณมากคับ warut สุดยอดจริงๆๆๆ

เพื่อความสะดวกให้ x = 4t ดังนั้น t ฮ (0, 6p) และสมการจะกลายเป็น cos t = cos 4t
เนื่องจากสมการใหม่มีคาบเป็น 2p เราจึงพิจารณาแค่ช่วง [0, 2p) ก็พอครับ

จากความรู้ที่ว่า ถ้า cos x = cos a แล้ว x = 2np ฑ a โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
เราจึงได้ว่า 4t = 2np ฑ t ดังนั้น t = 2mp/3, 2np/5 เมื่อ m, n เป็นจำนวนเต็มใดๆ
คำตอบในช่วง [0, 2p) จึงมีอยู่ 7 คำตอบคือ 0, 2p/3, 4p/3, 2p/5, 4p/5, 6p/5, 8p/5
ดังนั้นในช่วง (0, 6p) จึงมีคำตอบทั้งหมดเท่ากับ 3*7 - 1 = 20 (ที่ต้องลบออกด้วย 1
เพราะเราไม่นับคำตอบ t = 0 ครับ)