โจทย์แข่งขัน
 

1. ถ้า m หารด้วย 10 เหลือเศษ 5 และ n หารด้วย 10 เหลือเศษ 2 แล้ว 3m-2n หารด้วย 5 เหลือเศษ p จงหาค่าของ p+3

2. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมซึ่งมี AB:BC:CA = 2:5:4 อัตราส่วนของส่วนสูงทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ABC (AD:BE:CF) มีค่าเท่าไร

3. รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านตรงข้ามมุมฉากคือ AB , AC = 8 ซม. และ BC = 6 ซม. จุด D เป็นจุดกึ่งกลางของด้าน AB จากจุด D ลากเส้นตั้งฉากกับ AB บน AC ที่จุด E จงหาความยาวของ DE กี่เซนติเมตร

4. ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามี AB=50 หน่วย BC= 40 หน่วย E เป็นจุดบน CD ทำให้มุม BAC=CAE จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยม ADE เป็นกี่ตารางหน่วย

5. จงหาจำนวนวิธีในการสร้างจำนวนคู่บวก 3 หลักจากเลขโดด 0,2,3,4,5,6,7 และไม่ใช้เลขโดดซ้ำกัน

6. จงหาค่า K ที่เป็นบวกที่่ทำให้กราฟของเส้นตรง y-2x-k=0 สัมผัสกราฟวงกลม $x^2 + y^2$ = 20

7. ถ้า $3x^{2} + kxy - 2y^{2} - 7x + 7y - 6$ แยกตัวประกอบในรูปเชิงเส้นและมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่า K+5

8. จงหาเศษจากการหาร $1032^{1032}$ ด้วย 100 เป็นเท่าไร

ประเดิมข้อแรกละกัน ตอบ $4$

ข้อ 3 อ่านไม่รู้เรื่องครับ จขกท. ช่วยดูโจทย์ให้หน่อยครับ

ACE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ก็จบแล้วครับ
Attachment 2746

ทำไม x มีทั้งมุมและด้านเลยครับ - -

เปลี่ยนชื่อด้านเป็น y ก็แล้วกัน

จำได้ว่า เลขวน 20 รอบ (2 ยกกำลัง 20 รอบ ก็จะวน)

1032 หารด้วย 20 เหลือเศษ 12 ตรงกับ 96

ดังนั้น เศษจากการหาร $1032^{1032}$ ด้วย 100 เป็น 96

เนื่องจากมีเลข 0 เราแยกเป็นสองกรณี

กรณีหลักหน่วยเป็น 0

หลักหน่วยจัดได้ 1 วิธี
หลักร้อยจัดได้ 6 วิธี
หลักสิบจัดได้ 5 วิธี


รวม 1x6x5 = 30 จำนวน

กรณีหลักหน่วยไม่เป็น 0 (แต่เป็น 2,4,6)
หลักหน่วยได้ 3 วิธี
หลักร้อยได้ 5 วิธี
หลักสิบได้ 5 วิธี

รวม 3x5x5 = 75 จำนวน

รวมสองแบบได้ 30+75 = 105 จำนวน

Attachment 2756

พื้นที่สามเหลี่ยม $\frac{1}{2} \cdot ฐาน \cdot สูง$


พื้นที่สามเหลี่ยม $ABC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot AD =\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot BE =\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot CF$

$5AD = 4BE = 2CF$

$AD:BE:CF = 4:5:10$

ตรงนี้ผมคิดได้ 72 จำนวนครับ....เพราะหลักหน่วยเลือกเสร็จแล้วก็ถูกใช้ไปหนึ่งตัว เหลืออีก 6ตัว ตำแหน่งหลักสิบนี้เป็นศูนย์ก็ได้ ไม่ผิดกติกา สำหรับในหลักร้อยต้องเอาเลขศูนย์ออกไปหนึ่งตัว รวมกับที่เลือกไปแล้วสองตัว คือเหลือให้เลือก 4ตัว ดังนั้นจำนวนที่เกิดขึ้นคือ$3\times 6\times 4$ เท่ากับ 72 จำนวน....ผมน่าจะคิดผิดเพราะถ้าหลักสิบเป็นเลข0 แล้วหลักร้อยจะเหลือให้เลือกอีก 5 ตัว
ดังนั้น....หลักสิบเป็นเลข0 จะได้$3\times 1\times 5 =15$
......หลักสิบไม่ใช่เลขศูนย์จะได้$3\times 5\times 4 =60$
รวมกันได้ 75 จำนวน...ตามที่คุณอาBankerคำนวณไว้ครับ

$k=y-2x$...$k^2 = y^2 -4xy+4x^2$
$x^2 + y^2 = 20$.....$y^2 = 20-x^2$
$k^2 = 20-x^2 -4xy+4x^2$
$3x^2-4x(k+2x)+20-k^2=0$
$5x^2+4xk+k^2-20=0$
สมการนี้จะมีคำตอบเมื่อ $(4k)^2 -4(5)(k^2 - 20) \geqslant 0$
$16k^2 -20k^2+400\geqslant 0$
$400-4k^2\geqslant 0$
$100-k^2\geqslant 0$
$k^2 -100\leqslant 0$
$(k-10)(k+10)\leqslant 0$
$-10\leqslant k\leqslant 10$
ดังนั้นค่า$k$ที่เป็นคำตอบคือ 1,2,3,4,5,6,7,8,9และ10 แต่โจทย์ถามว่าเส้นตรงสัมผัสวงกลมแสดงว่าต้องการถามค่า$k$ที่ทำให้$(4k)^2 -4(5)(k^2 - 20) = 0$ จึงจะเกิดจุดสัมผัสเพียงจุดเดียว
ดังนั้นค่า$k$คือ10

เมื่อดู$3x^{2} + kxy - 2y^{2} - 7x + 7y - 6$จะเห็นว่ามีพจน์กำลังสองกับ$xy$แสดงว่ามีพจน์ในวงเล็บที่มีทั้ง$x$และ$y$.....$(x+y+...)(x+y+..)$
พจน์ตัวเลขคือ$(-6)$...เกิดจากการคูณของ$(-2)(3)$หรือ$(-3)(2)$ ใส่ลงไปก่อนเป็น
$(x+y-3)(x+y+2)$หรือ$(x+y+3)(x+y-2)$
มาดูสัมประสิทธิ์หน้าพจน์$x^2$และ$y^2$...ยังไม่ต้องดูพจน์$xy$
$3x^{2} $....ต้องเกิดจาก$3x\times x$
$-2y^{2} $....ต้องเกิดจาก$2y\times -y$หรือ$-2y\times y$.......เหลือแต่หาที่ให้ลง

มาดู$- 7x + 7y $...มาดู$(x+y-3)(x+y+2)$ก่อน
...สัมประสิทธิ์ของ$x$ได้จากผลบวกของตัวเลขหลังคือ$(-3)กับ(2) หรือ (-2)กับ(3)$คูณกับสัมประสิทธิ์ของ$x$...จึงมีตัวเลขที่ต้องมาจับคู่คือ$(-3,2,1,3)กับ(-2,3,1,3)$ได้ว่า....$-7=(-3)(3)+1\times 2$เฉพาะกรณีของ$(-3,2,1,3)$
เก็บไว้ก่อนเอากรณีมาพิจารณาค่าของ$7y$.
...สัมประสิทธิ์ของ$y$ได้จากผลบวกของตัวเลขหลังคือ$(-3)กับ(2)$คูณกับสัมประสิทธิ์ของ$x$...$(-3,2,1,-2)$หรือ$(-3,2,-1,2)$ ได้ว่า$7=(-3)(-1)+(2)(2)$อีกกรณี$(-3,2,1,-2)$ใช้ไม่ได้
ดังนั้น$(x+y-3)(x+y+2)$ใช้ได้เหลือแต่ใส่สัมประสิทธิ์และเครื่องหมายหน้าพจน์$x$กับ$y$
มาดูของ$x$....ใช้$(-3,2,1,3)$และ$-7=(-3)(3)+1\times 2$
ได้$(x+y-3)(3x+y+2)$
มาดูของ$y$....ใช้$(-3,2,-1,2)$และ$7=(-3)(-1)+(2)(2)$
ได้$(x+2y-3)(3x-y+2)$
ดังนั้นแปลงจาก$(x+2y-3)(3x-y+2)$ได้เป็น$3x^{2} + 5xy - 2y^{2} - 7x + 7y - 6$
ดังนั้น$k=5$ ดังนั้นค่าของ$k+5=10$

เอ่อ..นิมันโจทย์ สพฐ.รอบแรกปีนี้ไม่ใช่หรือครับ....
เดี๋ยวก็โดนข้อหาตั้งกระทู้ซ้ำหรอกครับ เหอๆ....

ขอ Sol. ข้อ 1 กับ ข้อ 8 ได้รึเปล่าครับ ?
สพฐ. รอบแรกยาก
รอบสองยากกว่า = ="
เผลอติดรอบที่สามคงไม่ผ่าน -3-

ข้อแรก ผมไม่ใช้ทฤษฐีเศษหาร เพราะใช้ไม่ถนัดและจำไม่ได้
ให้$a,b$เป็นจำนวนเต็ม
$m=10a+5$ และ $n=10b+2$
$3m-2n = 3(10a+5)-2(10b+2)$ =$30a-20b+11$ =$5(6a-4b)+10+1$
=$5(6a-4b+2)+1$
พจน์นี้หารด้วย5แล้วเหลือเศษคือ 1 จึงเป็นค่าของ$p$...โจทย์ถามค่าของ$p+3$ ตอบคือ$4$
เอาวิธีแบบบ้านๆแล้วกันเนาะ ถนัดวิธีแบบนี้มากกว่า