อสมการครับ
1) ถ้า $a^4+b^4+c^4 = 3$ และ a,b,c > 0 จงพิสูจน์ว่า $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ac} \leqslant 1$
2)ถ้า a,b > 0 จงพิสูจน์ว่า $\frac{1(a+b)^2}{2} + \frac{1(a+b)}{4} \geqslant a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$ |
ข้อ 2 AM-GM ธรรมดา แต่ข้อ 1 นี่....
กระจายจะออกรึเปล่าหว่าาา |
#2
ขอวิธีทำหน่อยครับ |
อ้างอิง:
AM-GM $(a+b)^2 \geq 4ab$ $\dfrac{(a+b)^2}{2} + \dfrac{(a+b)}{4} \geq 2ab+\dfrac{(a+b)}{4}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq 2\sqrt{\dfrac{ab(a+b)}{2}}$ AM-GM $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sqrt{2ab(a+b)}$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq \sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ |
ขอบคุณครับ:please:
|
ขอลองข้อ 1 ครับ
จาก Cauchy $a^2+b^2+c^2\leqslant \sqrt{3(a^4+b^4+c^4)} $ $a^2+b^2+c^2\leqslant 3$ และแสดงได้โดยง่ายว่า $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca$ จึงทำให้ $3\geqslant ab+bc+ca$ จากการย้ายข้าง AM-HM ได้ว่า $(4-ab+4-bc+4-ca)(\frac{1}{4-ab} +\frac{1}{4-bc} +\frac{1}{4-ca} )\geqslant 9$ $(\frac{1}{4-ab} +\frac{1}{4-bc} +\frac{1}{4-ca} )\geqslant \frac{9}{4-ab+4-bc+4-ca}$ ซึ่งทางขวามือ $\geqslant 1$นั่นเอง |
อ้างอิง:
|
จริงด้วยครับ
ผมไม่รู้เป็นอะไรกับพวกเศษส่วนนี้จริงๆครับ ชอบทำกลับข้างอสมการ:haha: |
ข้อ 1
พิจารณาอสมการ $$a^4+b^4 \geq 2a^2b^2 \geq 2(2ab-1)$$ $$3-c^4 \geq 4ab-2$$ $$\frac{1}{4-ab} \leq \frac{4}{11+c^4}$$ พิจารณาอสมการ (เห็นได้ชัดจากการกระจาย) $$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4} \leq 2$$ ดังนั้น $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq 1$ |
อ้างอิง:
|
$$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4} \leq 2$$
จากอสมการนี้ เมื่อเราคูณให้ไม่ติดส่วนจะได้ว่า $$44+2a^4+2b^4 \leq 121+11a^4+11b^4+a^4b^4$$ $$0 \leq 77+9a^4+9b^4+a^4b^4$$ ซึ่งจะได้ว่าอสมการเริ่มต้นเป็นจริงโดยการพิสูจน์แบบย้อนกลับ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $$\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4} \leq 2$$ $$\frac{4}{11+c^4}+\frac{4}{11+a^4} \leq 2$$ และเมื่อบวกอสมการทั้งหมดเข้าด้วยกันจะได้ว่า $$\frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4} \leq 1$$ แต่จาก $$\frac{1}{4-ab} \leq \frac{4}{11+c^4}$$ จะได้ $$\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq \frac{4}{11+a^4}+\frac{4}{11+b^4}+\frac{4}{11+c^4}$$ ดังนั้น $\frac{1}{4-ab}+\frac{1}{4-bc}+\frac{1}{4-ca} \leq 1$ |
อ้างอิง:
ตอนเเรกผมก็คิดเเล้วว่าคุณคงคิดเเบบนี้ เเต่ไม่เเน่ใจอ่ะครับ |
อ้างอิง:
$$\dfrac{4}{11+a^4}+\dfrac{4}{11+b^4}+\dfrac{4}{11+c^4} \geq \dfrac{36}{33+a^4+b^4+c^4}=1$$ |
จาก โจทย์ จะได้ $abc\leq 1,a+b+c\leq 3,ab+bc+ca\leq 3$
สมมติ $a^4+b^4+c^4-ab=m,a^4+b^4+c^4-bc=n,a^4+b^4+c^4-ca=p$ จะได้ว่า เราต้องการพิสูจน์ $$\frac{1}{m+1}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{p+1}\leq 1$$ $$\Leftrightarrow 2+m+n+p\leq mnp$$ $$\Leftrightarrow a^2b^2c^2+8(ab+bc+ca)\leq 3abc(a+b+c)+16$$ $$\Leftrightarrow abc(abc-3(a+b+c))+8(ab+bc+ca-2)\leq 0$$ ซึ่งเป็นจริงจาก $abc\leq 1,a+b+c\leq 3,ab+bc+ca\leq 3$ :) ปล. ช่วยกันเช็คหน่อยนะครับ :aah::aah: |
#14
บรรทัดสุดท้าย จริงอย่างไรครับ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:29 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha