หาจำนวนพหุนามที่สอดคล้อง
 

Q : หาจำนวนพหุนามกำลังสองที่สัมประสิทธิ์้เป็นจำนวนเต็มที่สอดคล้อง กับ $f(0) = 2010$

คือ ดูเหมือนจะง่ายนะครับ แต่ผมลอง สมมุติ $ax^2+bx+c = k(x-t_1)(x-t_2)$

แล้วก็หาจำนวนชุด $(k,t_1,t_2)$ ที่สอดคล้องกับ $k*t_1*t_2 = 2010$ ผมจะหายังไงดีอะครับ โดย $a,b,c,t_1,t_2 \in \mathbb{Z} $

แล้วถ้าเป็น $a_1*a_2*a_3*......*a_n = c$ (จำนวนเต็ม) เราจะหายังไงดีครับ (คิดว่าไม่มีวิธีทั่วไป)

สัมประสิทธิ์้เป็นจำนวนเต็ม ไม่ได้แปลว่า $k,t_1,t_2 \in \mathbb{Z}$ ครับ แต่แปลว่า $a,b,c \in \mathbb{Z}$

อ่อครับ ขอโทษทีครับ เบลอ :mellow: ทำยังไงดีอะครับ

ลองดูพหุนาม $f(x)-2010$

ยังไงหรอครับ :please:

$P(x)=f(x)-2010$ มี $0$ เป็นรากไงครับ

$P(x)=ax^2+bx+2010$ เมื่อ $a,b\in\mathbb{Z}$ ก็เป็นคำตอบหมดเลยนี่ครับ หรือโจทย์มีอะไรมากกว่านั้น

รากเป็นจำนวนเต็มครับ

ไม่รู้แบบนี้ได้ไหม๊นะครับ:confused:

ต่อจากท่าน nooonuii

$P(x)=ax^2+bx+2010$
$P(x)=a(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{2010}{a}) $

ดังนั้น $a$ ต้องเป็นตัวประกอบของ $2010=2\times 3\times 5\times 67\Longrightarrow $ ตรงนี้ไม่แน่ใจว่าจำเป็นหรือไม่

$\therefore a $ เป็นไปได้ทั้งหมด 32 จำนวน

กรณีที่ 1 $a=1$

$P(x)=x^2+bx+2010$

ถ้าต้องการให้รากเป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่า $P(x)$ ต้องสามารถเขียนได้ในรูป

$P(x)=(x-m)(x-n)$ โดยที่ $mn=2010$

แล้วพิจารณา $(m,n)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่งทำให้ได้ค่า $b$ แตกต่างกัน

กรณีที่ 2 $a=-1$

...................
....................

กรณีที่ 32 $a=-2010$