รากของพหุนาม
 

ให้ $a,b,c,d$ เป็นรากของ $x^4-3x^3+4x^2-2x+1=0$ จงหาค่าของ $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+d}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+d}+\dfrac{1}{c+d}$

มีวิธีไม่ต้องกระจายถึกๆ มั้ยครับ

ผมใช้วิธีสร้างพหุนามกำลังสามขึ้นมาก่อนครับใช่ตอบ54/11?

ทำยังไงหรอครับ

คำตอบมีความสัมพันธ์อยู่กับพหุนาม $P^3+\frac{5}{4} P^2-\frac{45}{16} P-\frac{25}{64} $ อ่ะครับ

ผมไม่เห็นความสัมพันธ์เลยครับ ขอคำใบ้อีกหน่อยครับ

คือพหุนามกำลังสามPจะมีราก3ค่าสามารถแตกเป็นคำตอบของผลบวกของรากสมการกำลังสี่มีทั้งหมด6คู่ได้อ่ะครับ แต่ต้องปรับแก้ด้วยการบวกเพิ่มค่า2r อีกที เมื่อ r=-B/4A=-(-3)/4(1)=3/4,ABCDEคือส.ป.สของพหุนามกำลังสี่

งงครับ ขอแบบละเอียดได้มั้ยครับ

......key concept อยู่ที่ตรงนี้ครับ
$\left\{\,a+b,a+c,a+d,b+c,b+d,c+d\right\} =\left\{\,{\frac{3}{2} +\sqrt{P_1} ,\frac{3}{2} -\sqrt{P_1},\frac{3}{2} +\sqrt{P_2},\frac{3}{2} -\sqrt{P_2},\frac{3}{2} +\sqrt{P_3},\frac{3}{2} -\sqrt{P_3}}\right\} $
โดยที่ $P_1,P_2,P_3$เป็นรากของสมการ $P^3+\frac{5}{4} P^2-\frac{45}{16} P-\frac{25}{64}=0 $ ครับ

ถ้าเป็นแบบนี้จริง ผมก็ได้ 54/11 ครับ แต่ไม่ทราบว่ามายังไงหรอครับ

.........พหุนาม$x^4-3x^3+4x^2-2x+1=0$ ใช้หลักการเลื่อนแกนเพื่อทำให้พจน์ $x^3$ หาย จะได้พหุนาม $(x-\frac{3}{4} )^4+\frac{5}{8}(x-\frac{3}{4})^2+\frac{5}{8}(x-\frac{3}{4})+\frac{205}{256}=0$ ก็คือ $X^4+\frac{5}{8}X^2+\frac{5}{8}X+\frac{205}{256}=0$ ล่ะกันครับ......
.........พหุนาม $X^4+\frac{5}{8}X^2+\frac{5}{8}X+\frac{205}{256}=0$ สามารถแยกตัวประกอบได้เป็น $(X^2-pX+q_1)(X^2+pX+q_2)$ สามารถหาส.ป.ส p ได้จากการหารเหลือเศษศูนย์ นั่นคือที่มาของพหุนามกำลังสามP ครับ โดย $p^2=P$ นอกจากนี้ยังมีพหุนามQ เพื่อใช้หา $q_1และ q_2$ ด้วยนะครับ:wacko:
.

ได้แล้วครับ ขอบคุณมากครับ

เเเยกตัวประกอบไงครับ
 

ผมหา p ไม่ได้อะครับ ทำจากเทียบ ส.ป.ส เเล้วติดกำลังสาม /// เเถมยังงงตรง $ p^2 = P $

แนะนำว่าควรตั้งหารยาวดูครับ นำ $X^4+\frac{5}{8}X^2+\frac{5}{8}X+\frac{205}{256}=0$ หารด้วย $X^2-pX+q_1$ แล้วดูเศษเอา เศษจะอยู่ในรูป $Ax+B$ แล้วจับ $A=0$ , $B=0$ มี 2ตัวแปร 2 สมการเอง แต่ถ้าไปเทียบสัมประสิทธิ์ก็ได้ครับ แต่น่าจะมี 3 ตัวแปร 3 สมการ

ผมเทียบสัมประสิทธิ์เอา จะได้ 3 สมการ 3 ตัวแปร แล้วก็จัดทุกตัวแปรให้อยู่ในรูป p แล้ว มันจะได้สมการกำลัง 6

คือเราจะได้ว่า $a-\frac{3}{4} ,b-\frac{3}{4} ,c-\frac{3}{4} ,d-\frac{3}{4}$ เป็นรากของ $x^4+\frac{5}{8} x^2+ \frac{5}{8} x + \frac{205}{256} $

เราจะได้ว่า 2 ใน 4 ของราก จะเป็นรากของ $x^2-px+q_1$ ซึ่ง $p$ คือผลบวกของราก 2 รากนั้น

ดังนั้นค่า p จะมีได้ 6 ค่า ซึ่งก็คือ $a+b-\frac{3}{2} , ... , c+d-\frac{3}{2} $ ซึ่ง 6 ค่านี้ก็คือ รากของสมการกำลัง 6 ข้างต้น

ทีนี้เราก็จะหาสมการกำลัง 6 ที่มี $a+b,...,c+d$ เป็นรากได้

ขอบคุณครับ ก็คือเราไม่จำเป็นต้องหาค่า p ออกมา