จาก $ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} \in \mathbb{I} $ จะได้ $ \frac{ad+bc}{bd} \in \mathbb{I} $

จะได้ว่า $b\mid ad$ และจาก $(a,b) = 1$ ดังนั้น $b\mid d$ ---[1]

ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $d\mid bc$ และจาก $(c,d) = 1$ ดังนั้น $d\mid b$ ---[2]

จาก [1] และ [2], จะได้ $b=d$ ดังนั้น $(b,d) = b=d$