ข้อสอบคัดตัว ค่าย สพฐ. 2556
 

เอาเท่าที่จำได้ ของวันที่ 24/4/56
1. ให้ a,b และ c เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า b|a^5 c|b^5 และ a|c^5 จงพิสูจน์ว่า abc|(a+b+c)^31
2. ให้ a,b,c และ d เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ถ้า a+b+c+d=50 จงหาจำนวนคำตอบ (a,b,c,d) ที่สอดล้องกับสมการดังกล่าว
3. มีจำนวนห้าหลักกี่จำนวนที่มีคุณสมบัติดังนี้
- ประกอบด้วยเลขโดด 1,2,3,4 และ 5 อย่างละ 1 ตัว
- หารด้วย 5 ไม่ลงตัว
- มากกว่า 20000
4. แบ่งเงิน 16 บาท ให้คน 6 คน โดยทุกคนต้องได้รับเงินเป็นจำนวนเต็มบาท และต้องได้อย่างน้อย 1 บาท คนที่ได้เงินน้อยที่สุด และคนที่ได้เงินมากที่สุด ต้องได้เงินรวมกันมากกว่า สี่คนที่เหลือรวมกัน จะสามารถแบ่งเงินได้กี่วิธี
5. สามเหลี่ยม ABC มี AB = 5 BC = 13 และ CA = 12 หน่วย ให้ P เป็นจุดภายใน สามเหลี่ยม ABC ลาก PX ตั้งฉากกับ AB,PY ตั้งฉากกับ และ PZ ตั้งฉากกับ CA จงหา PX+PY+PZ ที่น้อยที่สุด
6. ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม มีมุม ABC = 2 เท่าของ ACB = 40 องศา D เป็นจุดภายนอกทางด้าน BC ทำให้ มุม BAD = 2 เท่าของ ABC และ AB = AD ขนาดของมุม BCD เป็นกี่องศา
7. มีจำนวนนับกี่จำนวนที่น้อยกว่า 500 และมีผลบวกของตัวประกอบเฉพาะเป็น 20
8. ถ้า a,b,c,d เป็นคำตอบของสมการ x^4+7x^3+kx^2-395x+2010 = 0 และ ab = -30 แล้ว k มีค่าเท่าใด
9. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนจริงข้องสมการ {(x^2+x+1)^3-(x^2+1)^3-x^3}{(x^2-x+1)^3-(x^2+1)^3+x^3}+3{(x^4+x^2+1)^3-(x^4+1)^3-x^6} = 0
10. ให้ a*10^n = 14869^4+15131^4+15869^4+16631^4-14619^4-15381^4-16119^4-16381^4 เมื่อ 1 <= a < 10 และ n เป็นจำนวนเต็ม หาค่า na^2
11. มีจำนวนสามหลักกี่จำนวน ที่ผลรวมของเลขโดดเท่ากับ 11

11. มีจำนวนสามหลักกี่จำนวน ที่ผลรวมของเลขโดดเท่ากับ 11

ให้ 3 หลักนี้คือ abc

a=1;b+c=10 ; b=1,2,3.4,5,6.7,8.9 = 9

a=2;b+c=9 ; b=0,..,9 =10

a=3;b+c=8 ; b=0,...,8 =9

...

a=9;b+c=2 ; b=0,1,2 =3

มีทั้งสิ้น (3+4+...+10)+9=55-2-1+9=61 จำนวน

2. ให้ a,b,c และ d เป็นจำนวนเต็มบวกคี่ ถ้า a+b+c+d=50 จงหาจำนวนคำตอบ (a,b,c,d) ที่สอดล้องกับสมการดังกล่าว

ให้

$a=2x_1+1$

$b=2x_2+1$

$c=2x_3+1$

$d=2x_4+1$

$a+b+c+d=50$

$2(x_1+x_2+x_3+x_4)=46$

$x_1+x_2+x_3+x_4=23$

แบ่ง 23 ออกเป็น 4 จำนวนโดยไม่มีเงื่อนไข

ใช้ $Stars$ & $Bars$

$=\binom{23+4-1}{3} =2024$

7. มีจำนวนนับกี่จำนวนที่น้อยกว่า $500$ และมีผลบวกของตัวประกอบเฉพาะเป็น $20$

จำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า $20$ มี $2,3,5,7,11,13,17,19$

ที่บวกกันได้ $20$ มี

$3+17,7+13,2+7+11,2+5+13$

$3^a17^b<500 $

$b=1;a=1,2,3$

$7^a13^b<500$

$b=1;a=1$

$2^a7^b11^c<500$

$c=1;b=1;a=1,2$

$2^a5^b13^c<500$

$c=1;b=1;a=1,2$


มีทั้งสิ้น $3+1+2+2=8$ จำนวน

ควรจะเป็น $\binom{23 + 4 - 1}{3}$ ครับ

ข้อ 1
ลองพิจารณาพจน์ที่เกิดจากการกระจาย $(a+b+c)^{31}$ แล้วจะได้ว่า จะอยู่ในรูป $a^xb^yc^z$ โดย $x,y,z \in \mathbb{Z^+}$ แล้วแบ่งกรณีของ $x,y,z$ ออกมาครับ

ข้อสอบภาษาอังกฤษ วันที่25 มีมั้ยครับ ถ้ามีก็รบกวนpostครับ:)

ลืมไปเลย ขอบคุณครับ

ข้อสอบชักจะยากขึ้นทุกปีๆ:blood::blood::blood:

ข้อสอบเป็นภาษาไทยทั้งสองวันครับผม...:)
1. ถ้า (a,b) คือ หรม. ของ a และ b จงหาค่าของ (1,2013)+(2,2013)+(3,2013)+...+(2013,2013)
2. ถ้า [a,b] คือ ครน. ของ a b, กำหนดให้ $a^2+b^2=3920$ และ [a,b]-(a,b)=259 จงหาค่า a,b
3. ทีมเชียร์ลิดเดอร์จำนวน 10 คน พวกเราต้องการต่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยม
........A
......B C
....D E F
...G H I J
โดยมีข้อแม้ว่าคนที่มีน้ำหนักมากกว่าจะอยู่เหนือคนที่มีน้ำหนักน้อยกว่าไม่ได้ และคนที่มีน้ำหนักมากกว่าคนอื่นอย่างน้อย 7 คนจะต้องอยู่แถวล่างสุด จะสามารถต่อตัวกันได้กี่วิธี
4. สี่เหลี่ยมจัตุรัส ABCD มี P เป็นจุดภายนอก $PA=16 ,PB=5 \sqrt{2} ,PC = 10$ จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD


ปล. เจ้าของกระทู้จำได้เกือบหมดทุกข้อเลยอ่ะครับ...เก่งจริงๆ ครับผม:please:

เพิ่มให้ล่ะกัน
1.ให้ A0,A1,A2,...,A1000 เป็นจุดบน QP ทำให้ A0A1=A1A2=A2A3=...=A999A1000 ให้ B0,B1,B2,...,B1000 เป็นจุดบน QR ทำให้เกิดมุม PQR และ B0B1=B1B2=B2B3=...=B999B1000 พื้นที่สี่เหลี่ยม A0A1B1B0 = 15 ตร.หน่วย พื้นที่สี่เหลี่ยม A1A2B2B1 = 17 ตร.หน่วย จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยม A999A1000B999B1000
2.จงพิสูจน์ว่า (n เลือก 1)-5(n เลือก 2)+[5^2](n เลือก 3)-...+[5^(n-1)](n เลือก n) เป็นจำนวนประกอบ สำหรับ n ที่เป็นจำนวนคี่ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 5

ขอบคุณมากครับผม...
เฉลยบางข้อที่พอจะทำได้
<<7. มีจำนวนนับกี่จำนวนที่น้อยกว่า 500 และมีผลบวกของตัวประกอบเฉพาะเป็น 20>>
แยก ตปก.เฉพาะได้ดังนี้
(3,17) ที่ได้มี 3x17, 3x3x17, 3x3x3x17
(7,13) มีเพียง 7x13
(2,5,13) ได้ 2x5x13, 2x2x5x13,
(2,7,11) ได้ 2x7x11, 2x2x7x11
มีเพียง 8 จำนวน ตามนี้ครับผม...

ลองสร้างจุด $E$ โดยที่ให้ $PE=EC$ และตั้งฉากกัน จะได้ว่า $PE=EC=5\sqrt{2}$

จากนั้นก็ใช้สามเหลี่ยมคล้ายครับจะได้ว่า $BE=8\sqrt{2}$ (ทำไม สามเหลี่ยมคล้ายรูปไหน??)

แล้วก็ใช้ตรีโกณนิดหน่อยครับ สุดท้ายจะได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม $ABCD$ คือ $32$ ครับ

ไปเห็นข้อ $1$ มา ลอกกันมาเลย

http://www.artofproblemsolving.com/F...b9a98e0b481079

คิดว่าต้องได้ประมาณเท่าไร ถึงจะได้ไปต่อ