ปัญหาของฟาร์
 

ปัญหาของฟาร์ก็คือ จงพิสูจน์ ว่า ถ้า a เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ 0 แล้ว a^0 = 1
พิสูจน์
a^0 = 1
take log ทั้งสองข้างสมการ ; loga^0 = log1
0loga = 0
0 = 0
L.S. = R.S.
แต่ในทางทฤษฏีจริงๆแล้ว a^0 = 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆที่ไม่เท่ากับ 0 แสดงว่าเป็นลบก็ได้ แต่เมื่อลองแทน a เป็ยลบแล้วมันอนิยามตรง loga อ่ะ แล้วจะมีทางพิสูจน์ยังไงได้อ่ะ เพื่อให้ได้ a เป็นทั้งค่าลบและค่าบวก ช่วยบอกทีนะคะ

แล้วก็มีอีกปัญหานึง เรื่องของแฟคทอเรียล
จากนิยามแฟคทอเรียล
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...3.2.1
จะหา 0 ! ก็แทน n = 0 ลงในทั้งสองข้างของสมการ
ก็จะได้เป็น 0 ! = 0(-1)(-2)(-3)...3.2.1
ข้างซ้ายจะได้ 1 ส่วนข้างขวาได้ 0
เอ๊ะ ทำไมมันมีค่าไม่เท่ากันเนี่ย ไม่เข้าใจจริงๆ ฟาร์ผิดตรงไหนช่วยบ้างนะคะ

เอ่อ แล้ว แฟคทอเรียลเนี่ยมันใช่ได้ กับค่า n ที่เป็นทศนิยมหรือน้อยกว่า 0 รึเปล่า เห็นในนิยามกล่าวถึงแต่ n เป็นจำนวนเต็มบวก เมื่อวันก่อนอ่านหนังสืออ่ะ เค้าบอกว่าในระดับมัธยมเนี่ย จะเรียนเฉพาะ n เป็นจำนวนเต็มบวกเท่านั้น แต่ถ้าระดับสูงขึ้นไปเนี่ย n อาจเป็นทศนิยมหรือน้อยกว่า 0 ก็ได้ ยังไงก็ช่วยอธิบายให้หายงงทีนะ ????????

0!=1 เป็นนิยามครับไม่ต้องพิสูจน์
ส่วน a⁰ = 1 นี่ก็น่าจะเป็นนิยามอีกเหมือนกัน

ก่อนจะมาเป็นนิยาม มันจะต้องผ่านการพิสูจน์ก่อน ไม่ใช่หรอคะ

นิยามคือข้อตกลงครับ เหมือนกับเล่นกีฬาก็ต้องมีกติกา แต่อย่างที่ถามมานี่ไม่แน่ใจครับว่าเป็นนิยามหรือเปล่า ลองกลับไปทวนในหนังสือเรียนดูครับ

ลองอ่านนี่ดูครับ
http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product

อยากพิสูจน์ก็ได้คร้าบ เดี๋ยว คุณ Far จะข้องใจ
เริ่มจาก ให้ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับ 0 จะได้ว่า a มีอินเวอร์สการคูณ จะได้ว่า
\[ a^0 = a^{1-1} =a^1 a^{-1} = 1 \] เป็นจริงคร้าบ
ต่อไป ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ
เนื่องจาก n! = n(n-1)! จะได้ว่า 1! = 0! =1 คร้าบ

พิสูน์อีกทีครับ
เป็นเรื่องการเรียงสับเปลี่ยน
\(\displaystyle{\begin{array}{rcl} จาก&{n \choose r} &=& \frac{n!}{r!(n-r)!}\\
ดังนั้น& {n \choose n} &=& \frac{n!}{n!0!}\\
ซึ่ง& {n \choose n}& =&1\\
ดังนั้น& \frac{n!}{n!0!} &=& 1 &ด้วย\\
จะได้&0!&=&1\\ \end{array}}\)

นักคณิตศาสตร์ก็เลยตั้งนิยามว่า 0!\(\quad \) =\(\quad \) 1\(\quad \) เพื่อไม่ให้เกิดข้อขัดแย้งครับ :D

อืม ผมว่าเรื่องของนิยามนี่มันก็แปลกๆนะครับ จริงๆน่าผมว่าตอนแรกของการเกิดนิยามน่าจะมาจากความต้องการที่จะให้คำจำกัดความของคำ ว่ามันหมายถึงอะไรมากกว่า แต่ต่อมามันก็กลายเป็นการให้ค่าแทนก็มี ซึ่งจริงๆแล้วมันไม่น่าที่จะต้องพิสูจน์เลย แต่บางทีมันก็พิสูจน์ ซึ่งถ้าพิสูจน์ได้มันก็น่าจะเป็นทฤษฎีซะมากกว่า แต่เค้าก็เรียกนิยามกัน ซึ่งหลายครั้งมันขัดความรู้สึกยังไงก็ไม่รู้อ่ะครับ แล้วก็ยังมีเรื่องของการเกิดก่อนเกิดหลังอีก ทำให้เกิดการพิสูจน์ได้หลายแบบจนบางทีเกิดการซ้อนกันของทฤษฎีก็มี

อืม ผมว่าถ้าเกิดการรวมกันของแขนงวิชาต่างๆของคณิตศาสตร์ (ถึงไม่ทั้งหมดแต่ได้มาหลายๆแขนงก็ยังดี ) ก็น่าจะทำให้การนิยามและทฤษฎีเป็นลำดับขั้นตอนมากขึ้นอ่ะนะครับ แต่ก็ไม่รู้ว่ามันจะสามารถทำได้รึป่าว เฮ้อ ถ้าเก่ง math มากกว่าที่เป็นอยู่นี่มากๆๆๆๆ ก็คงจาดี

ในเบื้องต้น เรานิยาม n! = n(n - 1)(n - 2)...(3)(2)(1) สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n ครับ. ดังนั้นปกติแล้วเวลาเขียนถอยหลังหรือแทนค่า เราจะให้มันไปหยุดที่ 1 เท่านั้น แต่ต่อมาเราต้องการ 0! ให้มันเกิดขึ้นมาเพื่อให้ค่าอย่าง ⁿC₀ มีความหมาย หรือ ความหมายในเชิงคอมบินาทอริค คือ จำนวนวิธีในการจัดของ 0 สิ่ง ทำได้ 1 วิธี เมื่อสร้างมันขึ้นมาจึงต้องไม่ให้เกิดข้อขัดแย้งกับหลักที่ว่า n! = n(n - 1)! หรือ ความหมายในเชิงคอมบินาทริค อย่างที่น้อง M@gpie หรือ Tummy แสดงให้ดู :rolleyes:

สำหรับนิยามของ n! บนจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ เราจะอาศัยฟังก์ชันแกมมา (Gamma Function) กล่าวคือ สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน z ที่มี Re(z) > 0, \( \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1}e^{-t} dt \quad \) :eek:

เมื่อรู้จักกับ Gamma Function แล้วค่าของ Factorial สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ จะนิยามจาก \[ z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^ze^{-t} dt \] เช่น \( (\frac{-1}{2})! = \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \quad \) :)
ค่าของ z! ตามนิยามนี้ จะใช้ไม่ได้เมื่อ z เป็นจำนวนเต็มลบ เพราะจะทำให้ได้จำนวนอินฟินิตี้ บนระนาบเชิงซ้อน

สำหรับเหตุผลอีกแบบสำหรับทำไมที่ว่า \(a^0 = 1\) สำหรับทุกจำนวนจริง เมื่อ a น 0 อาจจะมาจาก Exponential Series \[a^x = 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \cdots \quad -\infty < x < \infty \]
จะเห็นได้ชัดเจนว่าถ้าแทน x = 0 จะได้ว่า a⁰ = 1 ดู ตารางตรีโกณมิติ และ ลอการิทึม ประกอบครับ. ;)

Exponential Series ของพี่ gon มันก็ใช้ไม่ได้อ่ะคะ ถ้า a น้อยกว่า 0 แล้วจะทำยังไงดีล่ะเนี่ย

ใช้ไม่ได้ก็ไม่ต้องใช้ครับ. เพราะเท่าที่พี่เปิด ๆ ดูตำรา เขาก็คงไม่มาถึงตรงจุดนี้หรอก เขาก็ใช้เพียง นิยาม และ ทบ. ที่เกี่ยวกับเลขยกกำลังเริ่มตั้งแต่ นิยามว่า \(x^n = (x)(x)\cdots (x) \) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

จากนั้นก็พิสูจน์ ทบ. พื้นฐานต่าง ๆ เช่น \(x^ax^b = x^{a+b} , \frac{x^a}{x^b} = x^{a - b} , (a > b) \) เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่ อะไรแบบนี้ เป็นต้น.

แล้วก็พัฒนาไปถึงจำนวนเต็มใด ๆ แล้วก็มีการตั้งนิยาม เช่น \(x^{-n} = \frac{1}{x^n} ; \) เมื่อ -n เป็นจำนวนเต็มลบอะไรแบบนี้

ซึ่งถ้าเป็นพี่เองก็จะทำคล้ายแบบของน้อง M@gpie คือจะใช้ว่า \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m - n} \) ทุก m, n ฮ เต็ม และ x น 0 จากนั้น ก็แทน m = n ก็จะได้ว่า \(x^0 = \frac{x^m}{x^m} = 1 \, \) :D

แต่หนังสือเล่มที่พี่ดู เขาเรียกว่า \(x^ 0 = 1 , x \not= 0 \, \) ว่าเป็น นิยามนะ. :rolleyes: