คณิต(ศาสตร์)คิดข้ามวัน คืนละข้อ
:D
1.กำหนด a,b เป็นคำตอบของสมการ $x = \sqrt{ x-(1/x)}+\sqrt{1-(1/x)}$ แล้ว $a^{13} + b^{13}$ มีค่าเท่าไร (20/8/52 เพชรยอดมงกุฎ) :sweat: |
โจทย์ถูกรึปล่าวน่อ :aah:
|
อ้างอิง:
|
ย้ายข้าง $\displaystyle{x-\sqrt{x-\frac{1}{x}}=\sqrt{1-\frac{1}{x}}}$
ยกกำลังสอง $\displaystyle{x^2-2x\sqrt{x-\frac{1}{x}}+x-\frac{1}{x}=1-\frac{1}{x}}$ หาร x ตลอด(เพราะ x ไม่เป็นศูนย์) $\displaystyle{x-2\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1=\frac{1}{x}}$ จัดรูป $\displaystyle{\Bigg[\sqrt{x-\frac{1}{x}}\Bigg]^2-2\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1=0}$ ได้ $\displaystyle{\Bigg[\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1\Bigg]^2=0\Rightarrow x-\frac{1}{x}=1\Rightarrow x^2-x-1=0}\Rightarrow x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$ ทีนี้ผมไม่เห็นวิธีง่ายๆที่จะหา $a^{13}+b^{13}$ ครับ ช่วยกันคิดนะ ที่ผมคิดออกก็มีอาจจะยกกำลังตรงๆเลยครับ คิดไปคิดมาก็พอไหวนะ ฮ่าๆๆ แต่ไม่สวย [คำนวณแต่พจน์ที่คี่ เพราะพจน์ที่คู่ตัดกน รวมแล้วก็ 7 พจน์ที่ต้องคิด] จะพยายามเอาสูตร $\displaystyle{F_n=\frac{a^n-b^n}{\sqrt{5}}}$ มาช่วย ก็ยังไม่เจอแบบง่ายๆ ที่ีคิดออกคือหา $F_{13}$ กับ $F_{26}$ ครับ |
ถึกเลยครับยัดทวินามกระจายออกมาเลย :haha::haha::haha:
|
โจทย์ลักษณะนี้จะเจอบ่อยในข้อสอบแข่งขัน และเป็นที่รู้กันว่า จัดรูปใหม่ จะได้ $x^2-x-1 =0$ จะพบว่าคำตอบของสมการมีได้เพียงค่าเดียวคือ $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ต่อจากนั้นโจทย์จะให้หาค่า ที่เกี่ยวกับราก มีวิธีง่ายทำได้โดย $x^2 =x+1$
$x^4 =x^2+2x+1 =3x+2$ $x^8= 9x^2+12x+4 =9(x+1)+12x+4 =21x+13$ $x^{12} =x^4*x^8 =(21x+13)(3x+2) = 63x^2+81x+226 =144x+89$ $x^{13} = x(144x+89) =233x+144=233(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+144$ สังเกตให้ดีจะเป็นเลขฟีโบนักชี่ จริงๆ เร็วๆนี้ก็มีคนมาถามโจทย์ลักษณะทำนองนี้ ซึ่งผมก็เคยโพสต์ไปแล้วแต่จำไม่ได้ว่าอยู่กระทู้ไหนครับ |
คือ ผม รู้วิธีคิด $a^13+b^13$ แต่คิด ว่ามันจะมา แบบ คุณ Onasdi ไม่ออกเลยมาต่อให้นะครับ
เราสังเกต จะได้ว่า $a+b + a^2+b^2 = a^3+b^3 $ จาก $a+b = 1 , a^2 + b^2 = 3 , a^3 +b^3 = 4 $ ครับ และ มันจะเรียงไปเรื่อยๆ ดังนั้น เราจะหา $a^13 +b^13$ ได้แล้ว $a+b = 1 $ $a^2+b^2= 3$ $a^3+b^3 = 4 $ $a^4+b^4 = 7 $ $a^5+b^5 = 11$ $a^6+b^6 = 18$ $a^7+b^7 = 29 $ $a^8+b^8 = 47 $ $a^9+b^9 = 76 $ $a^{10} +b^{10} = 123 $ $a^{11} +b^{11} = 199 $ $a^{12} +b^{12} = 322 $ $a^{13} +b^{13} = 521 $ เอ่อ เลขยกกำลังมันตกผมทำไม่เป็นอะ นะ เอาแบบ นี้ไปก่อน แก้แล้ว ครับที่มี 11 สองครั้ง |
เจอแล้วครับๆ เย่ๆ
a, b สอดคล้อง $x^2-x-1=0$ ได้ $x^2=x+1$ $\Rightarrow x^4=x^2+2x+1=(x+1)+2x+1=3x+2$ $\Rightarrow x^8=9x^2+12x+4=9(x+1)+12x+4=21x+13$ $\Rightarrow x^{13}=x^8\cdot x^4\cdot x^2=(21x+13)(3x+2)(x+1)$ $=(21x+13)(3(x+1)+5x+2)=(21x+13)(8x+5)=168(x+1)+209x+65=377x+233$ โอ้ แอบถึกนะครับ เล่นเอาเหนื่อยเลย $a^{13}+b^{13}=377(a+b)+466=377+466=843$ เช็คคำตอบด้วยนะครับ มึนครับ |
โอ๊ย ตอบช้าไป พอดีไม่ทันเห็นครับ
วิธีของผมเหมือนกับของคุณหยินหยาง ส่วนวิธีของคุณ mamypoko ก็ดูดีครับ จะลองไปพิสูจน์ดูครับ แต่ของงนิดนึงครับ เทียบกับของคุณหยินหยางเลยเจอที่ผิดของผม ตรง $x^{13}=x^8\cdot x^4\cdot x^2$ งั้นก็แสดงว่าที่ผมหามาคือ $a^{14}+b^{14}$ แล้วทำไมไปตรงกับของคุณ mamypoko เป๊ะเลยครับ Edit: อ่อ เจอที่ผิดของคุณ mamypoko แล้วครับ มันมี 11 สองครั้งครับ :p แล้วก็เข้าใจแล้วครับ $(a^n+b^n)+(a^{n+1}+b^{n+1})=(a^{n+2}+b^{n+2})$ เพราะว่า $a^n+a^{n+1}=a^{n+2}$ สรุปแล้วตอบ 521 ครับ |
จะมาบอกว่าโจทย์ข้อนี้มีความไม่สมบูรณ์ตรงที่โจทย์บอกว่า a , b เป็นคำตอบของสมการซึ่งค่าที่ใช้ได้มีเพียงค่าเดียวคือค่าที่เป็นบวกเท่านั้น (ตามที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น)
|
โอ้ เพิ่งเห็นครับ จริงด้วยครับ คนออกพลาด
|
2.ให้จำนวนเต็มบวก m ที่ทำให้$7m^2+7m+7$เป็นเจ็ดยกกำลังสี่ (แบบทดสอบคณิตศาสตร์ ช่วงชั้นที่ 3 ระดับเขตพื้นที่การศึกษา 21/8/52)
|
อ้างอิง:
$7m^2+7m+7 = 7^4 $ $(m^2+m+1) = 7^3 = 343$ $ m^2 + m -342 =0$ $(m-18)(m+19) = 0 $ $m =18, -19$ แทนค่าแล้ว สมการเป็นจริงทั้งสองค่า แต่โจทย์กำหนด ให้หาค่าจำนวนเต็มบวก m ? ตอบ $m=18$ |
3.(22/8/52 เตรียมอุดมฯ)
จงหาค่าของ $\frac{3}{4}\times\frac{8}{9}\times\frac{15}{16}\times...\times\frac{9999}{10000}$ |
ลองจัดรูปแล้วแยกเป็นผลต่างกำลังสองเอา
เด่วก้อได้ ปล. No Latex อ่ะ :please: |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 14:04 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha