ยกกำลังอนันต์ครั้ง
 

$x^{x^{x^{.^{.^{.}}}}}$ จะ converge เมื่อใดครับ
ช่วยแสดงวิธีทำด้วยครับ ขอบคุณครับ:please:

ปัญหาข้อนี้ผมเคยคุยกับคุณ passer-by ผ่านทาง pm จึงขอนำบางส่วนมาให้ดู:kiki:
ให้ $\displaystyle{f(x)=x^{x^{.^{.^{.}}}}},\forall x\in\mathbb{R}^{+}$ จะหา Domain
$$f(x)=y=x^{y}\rightarrow y'=\frac{f^{2}(x)}{x\left(1-\ln f(x)\right)}$$
ได้จุดวิกฤตเมื่อ $x=0,f(x)=0,e$ แต่ $x,f(x)=0$ ไม่ได้
ดังนั้นจาก $f(1)=1$ ทำให้ได้ว่า $f(x)=e$ เป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชันเกิดเมื่อ $\displaystyle{x=e^{\frac{1}{e}}}$
และจาก $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มอย่างแท้จริงบนช่วง $[1,\infty)$ ทำให้ได้ $\displaystyle{D_{f}\subseteq\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]}$
$$y=x^{y}\rightarrow\ln x=\frac{\ln y}{y}$$
ต่อไปพิจารณา $\displaystyle{g(x)=\frac{\ln x}{x},\forall x\in\mathbb{R}^{+}}$ จะได้ว่า $\displaystyle{R_{g}=\left(-\infty,\frac{1}{e}\right]}$
สรุปว่า $\displaystyle{\forall x\in\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]\exists y\in\mathbb{R}^{+},\ln x=\frac{\ln y}{y}}$ หรือ $\displaystyle{D_{f}=\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]}$

ดิฟผิดรึเปล่าครับ :unsure:

ถูกแล้วไม่ใช่เหรอครับ?
ก็ $y=x^y$
$\ln{y}=y\ln{x}$ นั่นคือ $\frac{\ln{y}}{y}=\ln{x}$
$\displaystyle\frac{d\left(\frac{\ln{y}}{y}\right)}{dx}=\frac{d(\ln{x})}{dx}$ นั่นคือ $\displaystyle\frac{d\left(\frac{\ln{y}}{y}\right)}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{d(\ln{x})}{dx}$
จาก $\displaystyle\frac{d\left(\frac{\ln{y}}{y}\right)}{dy}=\frac{1-\ln{y}}{y^2}$
$\displaystyle\therefore\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot\frac{y^2}{1-\ln{y}}$
$\displaystyle y'=\frac{f^2(x)}{x(1-\ln{(f(x))})}$

อูย :died: คิดเลขผิดอีกละ (ลืมดิฟอีกข้างง่ะ :cry: ) เป็นอย่างงี้ทุกทีเลย เบื๊อเบื่อ :sweat:

ขอบคุณ คุณ beginner01 ที่ช่วยให้ความกระจ่างครับ

ก็ว่าระดับคุณ Timestopper จะดิฟผิด แคลเค้าไปถึงไหนแร้วหนะ

ในนี้กล่าวไว้ว่า $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ลู่้เข้าเมื่อ $e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}$ ครับ

exp(1)

เห็นมันบอกในนี้ว่าถ้า $\displaystyle x<e^{-e}$ แล้วฟังก์ชัน $\displaystyle ^{n}x$ (tetration) นิยามโดย $\displaystyle ^{n}x=\underbrace{ูx^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{x}}}}}}_{n}$จะลู่เข้า 2 ค่า
ทำให้ $\displaystyle y=x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}$ ไม่สามารถลู่เข้าได้ เมื่อ $\displaystyle x<e^{-e}$
http://en.wikipedia.org/wiki/Tetration
พอจะมีใครอธิบายได้ไหมครับ?

เรื่องนี้มีมาตั้งแต่สมัย Euler แล้วครับ

ลองดูจาก paper นี้

iterated exponentials

ถ้าใครอยากได้ข้อมูลเพิ่มเติมลองหาจาก google โดยใช้ keyword

iterated exponential

ถ้าทำตามวิธีของผมตัวเลข $\displaystyle{e^{-e}}$ จะโผล่มาตรงไหนไหมครับ
หรือว่าวิธีที่ผมทำมันมองข้ามจุดไหนไปทำให้ได้คำตอบเกิน:please:

ผมว่าบรรทัดนี้ยังไม่ clear ครับ เพราะเรายังไม่รู้เลยว่าโดเมนของ $f$ เริ่มจาก $(0,...)$ จริงหรือเปล่า

ผมเจอ paper อีกอันนึงซึ่งมองฟังก์ชัน $f(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$

ให้เป็น inverse function ของฟังก์ชัน $g(x)=x^{1/x}$

อันนี้มาจาก $y=x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}\Rightarrow y=x^y\Rightarrow x=y^{1/y}$

ดังนั้นโดเมนของ $f$ ก็คือ range ของ $g$

paper นี้จึงไปสนใจฟังก์ชัน $g(x)$ แทน:great:

ผมทำอะไรผิดไปหรือเปล่าครับผมได้$\displaystyle{R_{g}=\left(0,e^{\frac{1}{e}}\right]}$:confused:

ตกลงตอบอะไรกันแน่ครับ แต่ผมคิดว่าถ้า $x<e^{-e}$ จะได้ว่ามันลู่เข้า 2 ค่านะครับ ผมลองมาแล้วครับ มันแกว่ง

ขอขุดหน่อยครับ :)

ขออ้างจาก link ที่ผมให้ไว้ในความคิดเห็นที่ 9 นะครับ

Lemma 1.9 ถ้า $x>e^{1/e}$ แล้ว $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ลู่ออก

ุLemma 1.7 ถ้า $e^{-e}\leq x\leq e^{1/e}$ แล้ว $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ ลู่เข้า

Lemma 1.8 ถ้า $0<x<e^{-e}$ แล้วลำดับ $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ จะเป็น attracting 2-cycle

คำว่า attracting 2-cycle นี้เป็นภาษา Dynamical Systems ครับ หมายความว่า

ลำดับที่เราสร้างขึ้นมานั้นจะมีค่าแกว่งไปแกว่งมาในสองบริเวณ (ถ้าเป็น 3-cycle มันก็จะวนไปสองที่แล้วก็กลับมายังบริเวณใกล้ๆกับจุดเดิม)

แต่แกว่งอย่างเดียวไม่พอ คำว่า attracting บ่งบอกว่า ลักษณะการแกว่งจะถูกดึงดูดด้วยจำนวนค่าหนึ่งในแต่ละบริเวณ

หมายความว่า ถ้าเรามองที่ลำดับย่อยมันจะลู่เข้าด้วย

ซึ่งในที่นี้จะเป็นลำดับที่เกิดจากการทำซ้ำเป็นจำนวนคู่กับจำนวนคี่ครั้ง

โดยลำดับ

$x,x^{x^{x}},x^{x^{x^{x^x}}},...$ จะลู่เข้าหาจำนวนจริง $a$

และลำดับ

$x^x,x^{x^{x^x}},...$ จะลู่เข้าหาจำนวนจริง $b$

เมื่อ $a,b$ สอดคล้องระบบสมการ

$b=x^{x^b}$

$a=x^b$

สังเกตว่าจำนวนที่ดึงลำดับ $x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}$ เข้าไปหาก็คือ $a,b$ นี่เ้องครับ