ข้อสอบตรีโกณโควตามอ.
 

ผมทำแล้วติดอยู่สองข้อครับ ของปี 54 กับ 55 อยากได้แนวคิดครับ

สวัสดีค่ะ

ดิฉันลองใช้ตาที่กรีดอายไลน์เนอร์มองกราดๆแล้วค่ะ
คิดว่า ถ้าลองพิจารณาจากวงกลมหนึ่งหน่วยดู น่าจะมีหนทางไปสู่ฟากฟ้าค่ะ

สวัสดีค่ะ

1) $cos\frac{\pi }{10} >sin\frac{\pi }{10}$
2) $cos\frac{\pi }{5} >sin\frac{\pi }{5}$
3) $sin\frac{\pi }{5} >sin\frac{\pi }{10}$
4) $cos\frac{\pi }{10} >cos\frac{\pi }{5}$
จากทั้ง 4 ข้อ สรุปได้ว่า $cos\frac{\pi }{10}>cos\frac{\pi }{5}>sin\frac{\pi }{5}>sin\frac{\pi }{10}$
แล้วค่อยมาพิจารณาค่า $tan\frac{\pi }{10}$ กับ $cos\frac{\pi }{10}$......ก็จะได้ว่า
.......สรุปตอบค่าที่มากที่สุดคือ $cos\frac{\pi }{10}$

เปลี่ยน cos เป็น sin (หรือ เปลี่ยน sin เป็น cos) ผสมดูจากกราฟ
Attachment 16679



เปลี่ยนเป็น arctan (arctan เป็นฟังก์ชันเพิ่ม)

พิจารณามุม $\pi/10$

เนื่องจาก $\pi/10 < \pi/4$ และ tan เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน $Q_1$ จึงได้ว่า

$\tan (\pi/10) < \tan (\pi/4) $

ดังนั้น $\sin (\pi/10) < \cos (\pi/10) ... (*)$

พิจารณามุม $\pi/5$

ในทำนองเดียวกัน จะได้ $\sin (\pi/5) < \cos (\pi/5) ... (**)$

-----------------------------------------------------------------

พิจารณา $\cos (\pi/5)$ กับ $\cos (\pi/10)$

เนื่องจาก $\pi/10 < \pi/5$ และ cos เป็นฟังก์ชันลดใน $Q_1$ จึงได้ว่า

$\cos(\pi/10) > \cos(\pi/5)$

สรุปได้ว่า $\cos(\pi/10)$ มีค่ามากสุด

$\sin(\arcsin (1/5)) = 1/5$

$\sin(\arccos(1/5)) = \sqrt{24}/5 $

$\sin(\arctan(1/5)) = 1/\sqrt{26} $

$\sin(arccot(1/5)) = 5/\sqrt{26} $

เนื่องจาก $5/\sqrt{26} > \sqrt{24}/5 > 1/5 > 1/\sqrt{26}$ และ sin เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงที่เลือก

แสดงว่า $arccot(1/5) > \arccos(1/5) > \arcsin(1/5) > \arctan(1/5)$

-----------------------------------------------------------------

พิจารณา $arccot(1/5)$ กับ $\pi/5$

เนื่องจาก $\pi/5 < \pi/4$ และ sin เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงที่เลือก

แสดงว่า $\sin(\pi/5) < \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$

จากที่ $\sin(arccot(1/5)) = 5/\sqrt{26} $

เนื่องจาก $5/\sqrt{26} > 1/\sqrt{2}$

แสดงว่า $\sin(arccot(1/5)) > \sin(\pi/5)$ และ sin เป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงที่เลือก

จึงได้ว่า $arccot(1/5) > \pi/5$

สรุปได้ว่าค่าของ arccot(1/5) จึงมากสุด

ข้อสอบสไตล์นี้ชอบออกใน IJSO อยู่บ่อยครั้ง ลองทำข้อนี้ดูครับ เป็น IJSO 6th ผมเคยเฉลยไว้แล้ว แต่ตอนนี้รูปที่ใช้อธิบายได้ล่องหนไปแล้ว เอามาฝากคุณหมอหรือท่านอื่นที่สนใจเพื่อทดสอบการทำโจทย์ลักษณะนี้ดูครับ

ว่าแต่คุณหมอจะฟิตเพื่อเตรียมสอบ PAT1 วันที่ 22 พย นี้หรือครับ

ลองสัประยุทธ์
 

1) ใช้หลักที่ว่า.............เมื่อ$0<\theta<\frac{\pi }{2}........sin\theta <\theta <tan\theta $
และ............$\frac{\pi }{90}=2^{\circ} $............$\therefore sin 2^{\circ} <\frac{\pi }{90}<tan 2^{\circ}$
2)......พิจารณา $tan 2^{\circ}$ กับ $2sin 1^{\circ}$ ว่าค่าไหนมากกว่ากัน.......หาค่า
$\frac{tan 2^{\circ}}{2sin 1^{\circ}}=\frac{sin 2^{\circ}}{cos 2^{\circ}2sin 1^{\circ}}$
$\frac{tan 2^{\circ}}{2sin 1^{\circ}}=\frac{2sin 1^{\circ}cos 1^{\circ}}{cos 2^{\circ}2sin 1^{\circ}}$
$\frac{tan 2^{\circ}}{2sin 1^{\circ}}=\frac{cos 1^{\circ}}{cos 2^{\circ}}$
.......ซึ่ง $\frac{cos 1^{\circ}}{cos 2^{\circ}}>1$
.......แสดงว่า$\frac{tan 2^{\circ}}{2sin 1^{\circ}}>1$
.......นั่นคือ $tan 2^{\circ}>2sin 1^{\circ}$
3) ค่าที่มากที่สุดคือ $tan 2^{\circ}$

ขอบคุณมากครับทุกๆท่าน คุณGon อาจารย์หยินหยาง พี่เล็ก น้องScylla_Shadow และคุณtngngoapm
หายไปสองวันเพราะติดภาระกิจ ผมทำอย่างคุณtngngoapm จนเหลือแค่เทียบ $tan\frac{\pi }{10}$ กับ $cos\frac{\pi }{10}$ กะจะแก้สมการ $tan x= cos x$ แล้วจินตนการแบบมั่วๆว่าเอาค่า $x$ มาเทียบกับ $\frac{\pi }{10}$ เดี๋ยวลองอ่านที่ช่วยเฉลยครับ
อาจารย์หยินหยางครับ ผมแค่ช่วยหาข้อสอบให้ลูกชายทำครับ ปีนี้ม.5....ยอมรับครับว่า บางอย่างก็ยากขึ้น เลยขอความรู้จากท่านยอดฝีมือในเวปนี้ครับ