Cubic residue
ขอถามเป็นความรู้นะคะ
วิธีหา cubic residue modulo composite number เช่น $ x^3 \equiv a \mod 2^7 $ $ x^3 \equiv a \mod 221 $ ว่ามีทั้งหมดกี่จำนวน และจำนวนอะไรบ้าง ในรูป congruences ขอบคุณค่ะ |
ทราบวิธีการคิดแล้วค่ะ
:) |
อ้างอิง:
|
ถ้าพบที่ไม่ถูกต้องก็บอกนะคะ
$ x^3 \equiv a \mod 221$ $ x^3 \equiv a \mod 13\cdot17 $ หา solution ของแต่ละ prime congruence $ x^3 \equiv a \mod 13 $ $ a \equiv 0, 1, 5, 8, 12 \mod 13 $ ----- 1 $ x^3 \equiv a \mod 17 $ $ a \equiv 0, 1, 2, ..., 16 \mod 17 $ ----- 2 จาก 1 และ 2 , ใช้ Chinese remainder theorem หา solution ( mod 221) ยกตัวอย่างเช่น $ a \equiv 0 \mod 13 $ $ a \equiv 2 \mod 17 $ จะได้ $ a \equiv 78 \mod 221 $ ดังนั้น 78 เป็นหนึ่งใน cubic residues ของ 221 คิดว่าในบางกรณี การรู้จำนวน cubic residues ทั้งหมด ก็มีประโยชน์ $ x^3 \equiv a \mod 10 $ $ x^3 \equiv 0, 1 \mod 2 $ $ x^3 \equiv 0, 1, 2, 3, 4 \mod 5 $ จำนวน cubic residue modulo 10 ทั้งหมด ( นับรวม 0 ด้วย ) จะมี 2 x 5 = 10 จำนวน นั่นคือ a = 0, 1, 2 ,..., 9 ----------- $ x^3 \equiv a \mod 2^7 $ มีทฤษฎี (ลองพิสูจน์ดูนะ ) $ x^k \equiv a \mod 2^n $ If $k \geq 3 $ is odd, then every odd integer a satisfying $ 1\leq a < 2^n, n\in \unicode {8469}$ , is a $k^{th}$-power residue modulo $2^n$. k = 3, n = 7 a = 1, 3, 5, ..., 127 คิดว่าไม่ใช่ complete list, เป็นกรณีที่ x เป็นเลขคี่ แต่ก็ยังไม่ทราบว่า ถ้า x เป็นเลขคู่ จะมีวิธีหา a อย่างไรค่ะ |
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 15:38 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha