5-element subsets
 

china 1997
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า $6$ และ $X$ เป็นเซตที่มีสมาชิก $n$ ตัว ให้ $A_{1}A_{2},\cdots,A_{m}$
เป็นสับเซตที่มี $5$ จำนวนของ $X$ จงพิสูจน์ว่า สำหรับ
$$m > \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(4n-15)}{600}$$,
จะมี $i_{1},i_{2},\cdots,i_{6}$ ที่ $n(\bigcup_{k=1}^6A_{i_{k}})=6$

รบกวนช่วยตรวจสอบด้วยนะครับ :)

ให้ $B_1,B_2,...,B_{\binom n6}$ เป็นสับเซตทั้งหมดของ $X$ ซึ่งมีสมาชิก $6$ ตัว
จะได้ว่า $A_i$ แต่ละตัว เป็นสับเซตของ $B_k$ ถึง $n-5$ เซต ดังนั้น มี $B$ อย่างน้อย 1 เซต ที่มีสับเซต $A$อย่างน้อย
$$\bigg\lceil\frac{(n-5)m}{\binom n6}\bigg\rceil$$
$$\geq\bigg\lceil\frac{(n-5)n(n-1)(n-2)(n-3)(4n-15)/600}{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)/720}\bigg\rceil$$
$$=\bigg\lceil\frac 65\cdot \frac{4n-15}{n-4}\bigg\rceil$$
$$=\bigg\lceil\frac{24n-90}{5n-20}\bigg\rceil$$
$$=\bigg\lceil 5-\frac{n-10}{5n-20}\bigg\rceil$$
$$\geq5$$
$(\because 10<4n\quad\rightarrow n-10<5n-20 (>0)\quad\rightarrow \large\frac{n-10}{5n-20}\large<1)$

ซึ่งจะได้สิ่งที่โจทย์ต้องการครับ :happy:

อ๊ะ ยังไม่ได้ครับ เพราะต้องได้ $\geq6$ แต่นี่ได้แค่ $\geq5$ เอง :confused:
แสดงว่าถ้าใช้อันนี้ก็เป็นจริงอย่างน้อยเมื่อ $n=7,8,9,10$
(ตอนเป็น $10$ ตัวนั้นจะออกมาเป็น จำนวนเต็ม ค่า m เลยเพิ่มขึ้นอีก 1 ... รอดตัวไป)

แต่ตอน $n=11,12,13,...$ นี่สิครับ ถ้าใช้ตัว bound นั่น ออกมาได้ $5$ แน่ๆ
$(\large\frac{n-10}{5n-20}>0)$

:confused: :) :unsure: