Degree of Freedom (N-1)
 

ตอนเรียนวิชาสถิติ ตอนการหาค่า Standard Deviation (SD) หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จะมีสูตรคือ
SD = รากที่สองของ[(Sum(Xi-Xbar)^2)/(N-1)] ; i = 1 ถึง N (ขอโทษทีครับ ผมพิมพ์สูตรเป็นสัญลักษณ์ไม่เป็น)
ไอ้ส่วนที่เป็น (N-1) เค้าเรียกว่า "Degree of Freedom" อาจารย์สมัยเรียนบอกว่าที่ต้องลบ 1 ออกจาก N เพราะข้อมูลตัวอย่างจะเสียความอิสระไป 1 ตัว
ตอนนั้นก็ไม่ได้เอะใจ หรืออยากรู้อะไรมากมาย(เรียนให้ผ่านๆไป แบบนี้ไม่ดีเลยนะครับ >_<) พอมาทำงานที่ทำงานให้ไปอบรม SPC (Statistical Process Control)
ต้องเจอกับเจ้าสถิติอีกแล้วครับ แล้วก็ต้องหา SD เหมือนเดิมด้วย ซึ่งเจ้า SD นี้คือ ค่า Error เฉลี่ย หรือ ค่าความเบี่ยงเบนที่ออกจากค่าจริง
เช่น ถ้าเราวัดขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางท่อ 1 อัน ซ้ำๆ กัน 3 ครั้ง ค่าที่วัดได้ควรจะไม่เท่ากัน(ถ้าเครื่องมือละเอียดพอ) ซึ่งค่าเส้นผ่านศูนย์กลางจริงๆของท่อ สมมติเป็นค่า R
ค่า จากการวัดเป็นค่า X1, X2, X3 ตามลำดับ ซึ่งค่า X ต่างๆที่วัดได้นี้ จะมีค่าความคาดเคลื่อน หรือ เบี่ยงเบน หรือ error อยู่ (แล้วแต่จะเรียก) กำหนดให้ error = E
เราสามารถเขียนค่าที่วัดได้เป็นสมการคือ
X1 = R + E1
X2 = R + E2
X3 = R + E3
ประเด็นที่เราสนใจคือหาค่า Error เฉลี่ย (เผื่อเอาไป plot graph ควบคุม อะไรนี่แหละ >_<) โดยถ้าแก้สมการย้ายข้างหา E จะได้ E = X - R ถ้านำทั้ง 3 สมการมาบวกๆกันแล้วหาร 3 จะได้
ค่า E เฉลี่ยออกมา แต่ค่า E นั้นโดยปกติจะมีค่าบวก มีค่าลบ ถ้าบวกกันธรรมดามันจะหักล้างกันเป็นศูนย์(ในกรณีที่ข้อมูลมีการแจงแจงแบบปกติ คือมี E+ เท่ากับ E- หรือกราฟเป็นระฆังคว่ำสมมาตร)
จึงต้องทำการยกกำลังสองทั้งสองข้างแล้วค่อยกับบวกกัน และตัวหารไม่ใช่ 3 ด้วย แต่ต้องเป็น (3-1)=2 พอมาถึงตรงนี้ ผมเลยเดาเอาเองว่าที่เค้าหักออก 1 ตัว เพราะว่าไอ้ข้อมูลตัวที่หักออกนี้
มันไปอยู่ตำแหน่งกึ่งกลางพอดี(หรือไม่มีค่า error) เมื่อเข้าสูตร มันจะโดนลบเหลือศูนย์ เพราะฉะนั้นเราจึง หาร (N-1) เพราะค่า error จริงๆมันจะเหลือแค่ N-1 ตัว
แต่ก็เช่นเคยผมไม่ได้ไปถามวิทยากรหรอกครับ >_< คิดเองเออเอง ที่เขียนบทความนี้ขึ้นมาก็ เผื่อใครที่รู้จริง จะได้มาช่วยแนะนำให้หายสงสัยครับ

In many scientific fields,
the degrees of freedom of a system is the number of parameters of the system
that may vary independently.

For example, a point in the plane has two degrees of freedom for translation:
its two coordinates; a non-infinitesimal object on the plane might have
additional degrees of freedoms related to its orientation.

In mathematics, this notion is formalized as the dimension of a manifold
or an algebraic variety.
When degrees of freedom is used instead of dimension,
this usually means that the manifold or variety that models the system
is only implicitly defined.

Degrees of freedom (mechanics), number of independent motions that
are allowed to the body or, in case of a mechanism made of several bodies,
number of possible independent relative motions between the pieces of the mechanism

Degrees of freedom (physics and chemistry), a term used in explaining
dependence on parameters, or the dimensions of a phase space

Degrees of freedom (statistics), the number of values in the final calculation of
a statistic that are free to vary

Degrees of freedom problem, the problem of controlling motor movement
given abundant degrees of freedom

https://en.wikipedia.org/wiki/Degrees_of_freedom

เรื่อง Standard Deviation มันมี 2 แบบคือ Population (\(\sigma\)) กับ Sample (\(s\)) ใช้สัญลักษณ์ต่างกัน

Population Standard Deviation ใช้ในกรณีที่เราสามารถวัดค่าจากประชากรได้ทั้งหมด

Sample Standard Deviation ใช้ในกรณีที่เราไม่สามารถวัดค่าจากประชากรทั้งหมด เช่น จะหา Standard Deviation ของน้ำหนักคนไทยทั้งประเทศ เราไม่สามารถชั่งน้ำหนักคนไทยทั้งหมดแล้วเอาเข้าสูตร Population Standard Deviation ได้ จึงใช้วิธีสุ่มคนไทยมากลุ่มหนึ่ง ชั่งน้ำหนัก แล้วคำนวณ เพื่อใช้ Standard Deviation ของประชากรกลุ่มย่อยนี้ แทน Standard Deviation ของประชากรทั้งหมด แน่นอนว่าค่าที่ได้ย่อมมีโอกาสคลาดเคลื่อน ก็มีคนพิสูจน์ได้ว่า หากใช้สูตร Sample Standard Deviation จะให้ความคลาดเคลื่อนน้อยกว่า (Bessel's correction)