โจทย์เรขาจาก TMO 10
 

ให $\omega$ เปนวงกลมแนบในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดย $\omega$ สัมผัสดาน $BC$ และ $AC$ ที่จุด $D$ และ E

ตามลำดับ ลากเสนตรงตั้งฉากกับ $BC$ ที่จุด $D$ ไปตัดวงกลม $\omega$ ที่จุด $P$ ซึ่งอยูใกลจุด $A$

เสนตรง $AP$ ตัด $BC$ ที่จุด $M$ ให $N$ เปนจุดบนดาน $AC$ ซึ่งทำให $AE = CN$

เสนตรง $BN$ ตัด $\omega$ ที่จุด $Q$ ซึ่งอยูใกลจุด $B$ และตัด $AM$ ที่จุด $R$

จงแสดงวา พื้นที่รูปสามเหลี่ยม $ABR$ เทากับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม $PQMN$


ขอเฉลยหรือ hint หน่อยครับ (ผมอ่าน hint จากกระทู้ tmo 10 แล้วครับแต่ก็ยังมืดแปดด้านอยู่ดีอ่าครับ :()

มันเป็น lemma อะครับ
$M$ เป็นจุดสัมผัส excircle

รบกวนคุณ Thgx ช่วย guide ให้ผมอีกนิดนึงได้ไหมครับ ลองหลายวิธีแล้วยังไม่ได้เลยครับ

Attachment 18724

ใช้ lemma นี้แล้วที่เหลือก็ไล่ด้านครับ

ใช้ homothety ได้ฉลาดดีครับ เดี๋ยวจะลองทำต่อดู