hard functional equation
 

1. Find all functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfying $f(x+f(y))=x+f(f(y))$
for all real numbers $x$ and $y$, with the additional constraint f(2004)=2005.

2. Let $\mathbb{N}$ denote the set of positive integers.Find all functions $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
such that $f(m+n)f(m-n)=f(m^2)$.

3. Find all functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ such that $f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$
for all real numbers $x$ and $y$.

อยากให้พิมพ์เป็นไทยได้มั้ยครับ ผมไม่เก่งอังกฤษครับ

1.จงหาฟังก์ชัน$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไข
$$f(x+f(y))=x+f(f(y))$$ และ $f(2004)=2005$
ให้ $x_0\in\mathbb{R}$ ซึ่ง $f(x_0)=0$ แทน y ด้วย $x_0$ จะได้ $f(x)=x+f(0)......(1)$
แทนค่า x ด้วย 2004 ลงใน (1) ได้ $f(2004)=2004+f(0)\rightarrow 2005=2004+f(0)\rightarrow f(0)=1$ นำค่า f(0) ไปแทนใน (1) จะได้ $f(x)=x+1$ ซึ่งเมื่อนำไปตรวจสอบจะเห็นว่าจริง
3.จงหา$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ทั้งหมดที่สอดคล้องเงื่อนไข
$$f(x)f(yf(x)-1)=x^2f(y)-f(x)$$
สมมติว่า $f(a)=f(b)$ เมื่อ $a,b\in\mathbb{R}$ จะได้ $f(a)-1=f(b)-1$
$\therefore f(a)f(f(a)-1)=f(b)f(f(b)-1)\rightarrow a^2f(1)-f(a)=b^2f(1)-f(b)\rightarrow a^2=b^2 \therefore a=\pm b$
แทน x=y: $f(x)f(xf(x)-1)=x^2f(x)-f(x)\rightarrow f(x)[f(xf(x)-1)-x^2+1]=0$ ฉะนั้น ถ้า $f(x)=0$
จะเห็นว่าสอดคล้อง สมมติว่า $f(x)\not=0 \therefore f(xf(x)-1)=x^2-1$
แทน x=0: $f(-1)=-1$ แทน x=-1: $f(-f(-1)-1)=0\rightarrow f(0)=0$ แทน x=1: $f(f(1)-1)=0$
จากที่ ถ้า $f(a)=f(b)$ แล้ว $a=\pm b \therefore f(1)-1=0\rightarrow f(1)=1$
แทนค่า x ด้วย -x : $f(-xf(-x)-1)=x^2-1=f(xf(x)-1)$ จะได้ $xf(x)-1=-xf(-x)-1$ หรือ $xf(x)-1=xf(-x)+1$จะเห็นว่า ถ้าแทน $x=0$ ใน $xf(x)-1=xf(-x)+1$ จะได้ -1=1 จึงไม่จริง
$\therefore xf(x)=-xf(-x)\rightarrow f(-x)= -f(x)$
แทน x=-1 ในสมการที่กำหนดให้มา
$f(-1)f(yf(-1)-1)=f(y)-f(-1)\rightarrow (-1)f(-(y+1))=f(y)+1\rightarrow f(y+1)=f(y)+1$
ซึ่งก็คือจะสามารถแสดงได้โดยง่ายว่า $f(x)=x$ (เหนื่อย:aah:)

ข้อ 1.) ทำไมถึงรู้ว่า มี $x_{0}$ ซึ่งทำให้ $f(x_{0})=0$

ลองให้ $x=-f(f(y))$ ดูครับ

เก่งจังครับ ผมทำไม่ได้เลย แงแงแง

Problem $2)$ is USA TST $2003$ P$4$