Number Theory Marathon
 

แนวคิดนี้ได้มาจาก Mathlinks ครับ ก็คือคนแรกจะตั้งคำถาม แล้วให้คนที่ตอบได้โพสเฉลยลงไปแล้วตั้งคำถามข้อต่อไป แนวคำถามอยู่ในระดับ Pre-Olympiad ครับ
1.หาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มบวกของสมการ \(x^2-x+2xy+y^2-y=n^2\)

จัดรูปสมการด้านบนใหม่จะได้ \((x+y)^2-(x+y)=n^2\) ซึ่งสมมูลกับ \([2(x+y)-1]^2=4n^2+1\) ซึ่งจะได้ว่า \(\underbrace{[2(x+y)+2n-1]}_{=A}\underbrace{[2(x+y]-2n-1]}_{=B}=1\)
กรณีที่ A=1 และ B=-1 หรือกลับกัน จะได้ 4n=ฑ2 ซึ่งทำให้ n ไม่เป็นจำนวนเต็ม
กรณีที่ A=1 และ B=1 (หรือทั้ง A และ B เป็นลบ) จะได้ n=0 ซึ่งทำให้ x+y=1 หรือ 0 ซึ่งไม่มีคู่อันดับใดในสองสมการนี้ที่ทั้ง x และ y เป็นจำนวนเต็มบวก
ดังนั้น สมการที่กำหนดให้ด้านบนไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

เฉลยเสร็จแล้ว ก็เสนอข้อต่อไป ไม่ยากมากสองข้อย่อย...
2.1 จงหาจำนวนนับ n ทั้งหมดที่ทำให้ \(n^4+6n^3+4n^2-8n+21\) เป็นจำนวนเฉพาะ
2.2 จงแยกตัวประกอบของ \(n^5+n^4+1\)

2.1 n⁴+6n³+4n²-8n+21= (n+3)(n³+3n²-5n+7) ซึ่งแต่ละจำนวนมีค่ามากกว่า 1 เสมอ จะได้ n⁴+6n³+4n²-8n+21 เป็นจำนวนประกอบเสมอ
2.2 n⁵+n⁴+1=(n⁵+n⁴+n³)-(n³-1) = n³(n²+n+1)-(n-1)(n²+n+1) = (n³-n+1)(n²+n+1)
ถามต่อครับ
3.จงหาจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ m,n ทั้งหมดที่ทำให้ m!+48=48(m+1)ⁿ

หารด้วย 48 ทั้งสองข้าง จะได้สมการใหม่เป็น \(\frac{m!}{48}=(m+1)^n-1\)
เนื่องจาก \(\frac{m!}{48}\) เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น \(m\geq 6\)
เนื่องจากเมื่อ \(m\geq 6\) แล้ว \(m+1|m!\) เสมอ
ดังนั้นสมการข้างต้นไม่มีคำตอบ

ข้อ 4. ให้ \(p\) เป็นจำนวนเฉพาะและ \(x,y\) เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการ
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\]

ตัวอย่างค้าน: เมื่อ m=10 จะได้ว่า 11 หาร 10! ไม่ลงตัว

ว่าแล้วก็ตอบข้อนี้ต่อ จัดรูปใหม่จะได้ p(x+y)=xy เนื่องจาก p เป็นจำนวนเฉพาะจะได้ว่า p|x หรือ p|y
โดยไม่เสียนัยให้ p|y ดังนั้นจะได้ y=kp (k เป็นจำนวนเต็มบวก)
แทนกลับเข้าไปในสมการ จัดรูปแล้วหารตลอดด้วย p จะได้ kp=(k-1)x หรือ x=pk/(k-1) ซึ่ง x จะเป็นจำนวนเต็มบวกก็ต่อเมื่อ
i) k/(k-1) เป็นจำนวนเต็มบวก กรณีนี้มี k=2 ตัวเดียว ดังนั้นจะได้ (x,y)=(2p,2p)เป็นคำตอบ
ii) (k-1)|p อันหมายถึง 1=k-1 หรือ p=k-1 นั่นคือ k=2 (ตรงกับกรณีแรก) หรือ k=p+1 ซึ่งจะได้คำตอบเป็น (x,y)=(p+1,p(p+1))
ในทำนองเดียวกันจะได้ (x,y)=(p(p+1),p+1) เป็นคำตอบด้วย ###

ข้อต่อไป...
5. จงหาจำนวนนับ m,n ทั้งหมดที่ทำให้ \(3^n+1=m^3\)

ขอเริ่มจากความเห็นเกี่ยวกับข้อ 4. ก่อนนะครับ ผมว่าข้อนี้น่าจะทำได้ง่ายขึ้นมากถ้าสังเกตเห็นว่า\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{p}\quad\Rightarrow
\quad xy-px-py=0\quad\Rightarrow\quad(x-p)(y-p)=p^2\]ต่อด้วยข้อ 5. ครับ จะเห็นว่า m ต้องเป็นเลขคู่ เราจึงได้ว่า 8 | 3ⁿ + 1
ถ้า n เป็นเลขคู่แล้ว 3ⁿ บ 1 (mod 8)
ถ้า n เป็นเลขคี่แล้ว 3ⁿ บ 3 (mod 8)
แสดงว่าไม่มีจำนวนนับ n ที่ทำให้ 8 หาร 3ⁿ + 1 ได้ลงตัว นั่นคือสมการนี้ไม่มีคำตอบครับ

ผมไม่มีโจทย์ใหม่ให้นะครับ เพราะโจทย์ข้อ 3 ของคุณ Char Aznable ยังไม่มีใครเฉลยเลย ก็ขอให้คิดว่าโจทย์อันที่เหลือนี้เป็นโจทย์ข้อต่อไปละกัน

- จากข้อสังเกต mณ6 (ของคุณ gools) และเมื่อ m=6,7 นั่นคือ เมื่อ m!/48 เป็นเลขคี่ จะได้ 15=6ⁿ-1, 105=7ⁿ-1 ซึ่งไม่มีจำนวนเต็ม n ที่สอดคล้อง
- m!/48 เป็นเลขคู่ก็ต่อเมื่อ (m+1)ⁿ เป็นเลขคี่ นั่นคือ m>7 เป็นเลขคู่
จาก (1) เราจะได้ \(m!+48\equiv{}m!+(m-1)!\equiv0\ mod\ (m+1)\)
หรือ \((m+1)|[(m-1)!-48]\)...(2) สำหรับทุก m>7 ซึ่งไม่เป็นจริงเมื่อ m=8,10,... C!
ดังนั้นสมการนี้ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม###

หมายเหตุ: (2) เป็นจริงสำหรับ n บางตัว เช่น n=5,7 (ซึ่งถูกคัดออกตั้งแต่แรกแล้ว) หากใครมีข้อเสนอแนะอย่างไรก็บอกกันได้ครับ

ุ6. จงหาจำนวนเฉพาะบวก p,q ทั้งหมดที่ทำให้ \(3p+4=q^2\)

ไม่เข้าใจครับว่า C! คืออะไร อีกอย่างคือ ถ้า m = 46 แล้ว m + 1 หาร (m - 1)! - 48 ลงตัวครับ เนื่องจาก (q - 2)(q + 2) = 3p จึงมีเพียง (p, q) = (7, 5) เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

ขอโทษด้วยครับที่เขียนแบบทดไปหน่อย
- C! คือ contradiction ครับ ในที่นี้จงใจจะใช้ว่าเป็นข้อขัดแย้งกับข้อความที่ว่าเป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มคู่ที่มากกว่าหรือเท่ากับแปด (ซึ่งดูหลวมไปนิด) แต่น่าจะใช้ได้ เพราะสมการ (2) ได้มาจาก (1) โดยตรง เลยลองโพสต์มาก่อน อีกอย่างลืมลบสามจุดท้าย 8,10,...
- ไม่แน่ใจครับว่าคุณ warut เช็คการหารลงตัวโดยใช้ wilson's theorem หรือไม่ หากใช่ผมว่ามันน่าจะเป็นแบบนี้มากกว่า: 47|((47-1)!+1) (แต่ที่ยกมาก็ไม่ผิดนะครับ)หากใม่ใช่ ผมสนใจครับว่าคุณ warut เช็คการหารลงตัวอย่างไร และจะหา m ที่เหลือที่สอดคล้องเงื่อนไขนี้อย่างไร

ป.ล. ยังไงหากยังไม่เคลียร์จะมาแก้อีกทีครับ มารู้อีกทีหลังโพสต์ว่าโจทย์ข้อหกง่ายเกินไป ไว้มีโอกาสครั้งหน้าจะหาข้อที่ยากกว่านี้มาแก้ตัว ตอนนี้ขออ่านหนังสือสอบก่อน :D

คือมันเริ่มจากที่ผมพยายามทำความเข้าใจกับการพิสูจน์ของคุณ nongtum ที่บอกว่า\[(m+1)\not|\,\,(m-1)!-48,
\quad m=8,10,\dots\]คิดๆเท่าไรก็ไม่ออกซักที เลยชักสงสัยว่ามันจะจริงรึเปล่า โดยเริ่มจากกรณีที่ง่ายที่สุดก่อนคือ m + 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็มาเจอตัวอย่างค้านอันนั้นแหละครับ

ใช่ครับ...ผมเช็คการหารลงตัวโดยใช้ Wilson's Theorem แต่ไม่ได้ใช้ตรงๆ ผมทำแบบนี้ครับ

ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ เรารู้ว่า (p - 1)! บ -1 (mod p)
แต่ (p - 1)! = (p - 1)(p - 2)! = p(p - 2)! - (p - 2)! บ -(p - 2)! (mod p)
ดังนั้น (p - 2)! บ 1 (mod p)
เราจึงได้ว่า 47 หาร 45! - 48 = (45! - 1) - 47 ลงตัวครับ

จะเห็นว่าผมไม่ได้ใช้สิทธิ์ในการตั้งโจทย์มาสองครั้งแล้ว เป็นเพราะว่าผมอยากให้ช่วยกันทำข้อนี้ก่อนน่ะครับ ไม่อยากให้ปล่อยผ่านเลยไปเฉยๆ ถ้าใครสามารถทำได้ (โดยจะทำต่อจากของคุณ nongtum หรือเริ่มใหม่เลย) ก็มาช่วยกันหน่อย หรือคุณ Char Aznable จะมาเฉลยก็เชิญเลยนะครับ

ป.ล. มีโจทย์ง่ายๆบ้างน่ะดีแล้วครับ :)

เฉลยนะครับ
จาก wilson's theorem
ถ้า m+1 prime จะได้ m!=-1 (mod m+1)
จะได้ 47 = 0 (mod m+1)
ดังนั้น m+1 = 47
ถ้า m+1 composite จะได้ m! = 0 (mod m+1)
จะได้ 48 = 0 (mod m+1)
ดังนั้น m+1 = 2,3,4,6,8,12,16,24,48
ไล่ทำทุกcase จะพบว่าไม่มีคำตอบ

กรณีที่ \(m+1=47\) คิดยังไงครับ หรือว่าใช้ความถึกอย่างเดียว :eek:

คิดว่าน่าจะเป็นแบบนี้ครับ
\(\underbrace{(m!+1)}_{\equiv0 (Wilson)}+47\equiv47\ \equiv0\ (mod\ m+1)\)
เนื่องจาก m+1 prime หาร 47(จำนวนเฉพาะ)ลงตัว จะเหลือกรณีเดียวคือ m+1=47 ส่วนที่เหลือไม่ยากครับ

ป.ล. คุณ Char Aznable มาใช้สิทธิ์ตั้งโจทย์ข้อใหม่ด้วยครับ

กรณี m+1 = 47 ใช้ 47² หารฝั่งซ้ายไม่ลงตัวครับ

ผมขอต่อเลยแล้วกันนะครับ
7. จงหาจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับทุก \(a_n = 2^n+3^n+6^n-1\) เมื่อ \( n\) เป็นจำนวนเต็มบวกและ \(n \geq 1 \)